Αρχική 4

#1

Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μία συνάρτηση και $F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μία αρχική της.
Αν $F(x)f(x)>x, \forall x \in\mathbb{R}$ , να αποδειχθεί ότι η

δεν είναι φραγμένη.

#2

Είναι:
$\displaystyle{ F(x)f(x) > x,\forall x \in R \Rightarrow F(x)F'(x) > x,\forall x \in R \Rightarrow \left( {\frac{{F^2 (x) - x^2 }}{2}} \right)' > 0,\forall x\in R }$
Συνεπώς η συνάρτηση $\displaystyle{ \frac{{F^2 (x) - x^2 }}{2} }$
είναι γνησίως αύξουσα στο R,μιάς και είναι και συνεχής.
Τώρα θα χρησιμοποιήσω (ως γνωστή) την πρόταση: F φραγμένη <=> F απολύτως φραγμένη.
Έστω λοιπόν πως η F είναι φραγμένη.Αρα θα είναι και απολύτως φραγμένη.
Αρα υπάρχει $\displaystyle{ \vartheta > 0 }$
ώστε $\displaystyle{ |F(x)| \le \vartheta ,\forall x \in R }$
Τότε:
$\displaystyle{ |F(x)| \le \vartheta ,\forall x \in R \Rightarrow F^2 (x) - x^2 \le \vartheta ^2 - x^2 \Rightarrow \frac{{F^2 (x) - x^2 }}{2} \le \frac{{\vartheta ^2 - x^2 }}{2},\forall x \in R }$
Είναι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\vartheta ^2 - x^2 }}{2} = - \infty }$
συνεπώς και $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{F^2 (x) - x^2 }}{2} = - \infty }$

Άτοπο γιατί η $\displaystyle{ \frac{{F^2 (x) - x^2 }}{2} }$
είναι γνησίως αύξουσα.
Αρα η F δεν είναι φραγμένη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

chris_gatos έγραψε:Είναι:
$\displaystyle{ F(x)f(x) > x,\forall x \in R \Rightarrow F(x)F'(x) > x,\forall x \in R \Rightarrow \left( {\frac{{F^2 (x) - x^2 }}{2}} \right)' > 0,\forall x\in R }$
Συνεπώς η συνάρτηση $\displaystyle{ \frac{{F^2 (x) - x^2 }}{2} }$
είναι γνησίως αύξουσα στο R,μιάς και είναι και συνεχής.
Τώρα θα χρησιμοποιήσω (ως γνωστή) την πρόταση: F φραγμένη <=> F απολύτως φραγμένη.
Έστω λοιπόν πως η F είναι φραγμένη.Αρα θα είναι και απολύτως φραγμένη.
Αρα υπάρχει $\displaystyle{ \vartheta > 0 }$
ώστε $\displaystyle{ |F(x)| \le \vartheta ,\forall x \in R }$
Τότε:
$\displaystyle{ |F(x)| \le \vartheta ,\forall x \in R \Rightarrow F^2 (x) - x^2 \le \vartheta ^2 - x^2 \Rightarrow \frac{{F^2 (x) - x^2 }}{2} \le \frac{{\vartheta ^2 - x^2 }}{2},\forall x \in R }$
Είναι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\vartheta ^2 - x^2 }}{2} = - \infty }$
συνεπώς και $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{F^2 (x) - x^2 }}{2} = - \infty }$

Άτοπο γιατί η $\displaystyle{ \frac{{F^2 (x) - x^2 }}{2} }$
είναι γνησίως αύξουσα.
Αρα η F δεν είναι φραγμένη.

Διαφορετικά. Η συνάρτηση $\displaystyle{ \frac{{F^2 (x) - x^2 }}{2} }$
είναι γνησίως αύξουσα στο R οπως έδειξε ο Χρήστος

Αρα για x>0

είναι $\dfrac{F^2(x)-x^{2}}{2}>\dfrac{F^2(0)}{2}$

Τελικά για x>0

είναι $F^{2}(x)> F^{2}(0)+x^{2}$

που δείχνει ότι δεν είναι φραγμένη.

Αρχική 4

Αρχική 4

Re: Αρχική 4

Re: Αρχική 4

Μέλη σε σύνδεση