Κυρτότητα - Απορίες

[Μάκης Χατζόπουλος]

Έχω κάποιες απορίες κατά πόσο το σχολικό βιβλίο ξεκαθαρίζει ή όχι κάποια θέματα...

α) Αν η άσκηση μας δίνει ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο Δ, τότε κατά το σχ. βιβλίο θεωρούμε ότι είναι και παραγωγίσιμη (στο εσωτερικό διάστημα Δ);

Αν όχι, τότε σε κάθε άσκηση που εξετάζουμε κυρτότητα πρέπει να δίνεται τουλάχιστον μια φορά ότι είναι παραγωγίσιμη, αλλιώς εκτός του σχήματος δεν έχουμε άλλο εργαλείο να την αποδείξουμε, σωστά;;

β) Η ευθεία κατά το βιβλίο, μας αφήνει υπόνοια τι είναι; Κυρτή, κοίλη και τα δύο ή τίποτα;

Υπάρχει λόγος γιατί το ρωτώ...

[matha]

Σχετικά με το α) ερώτημα:

Δεδομένου ότι η έννοια της κυρτότητα, στο σχολικό βιβλίο, αναφέρεται σε παραγωγίσιμες συναρτήσεις, ενώ γενικότερα η παραγωγισιμότητα δεν είναι προϋπόθεση για να είναι μία συνάρτηση κυρτή, πιστεύω ότι στα σχολικά πλαίσια, κάθε σχετική άσκηση θα έπρεπε να ξεκινά λέγοντας... ''έστω (τουλάχιστον μία φορά) παραγωγίσιμη συνάρτηση...., η οποία είναι κυρτή.''

Διαφορετικά, μου φαίνεται (το λιγότερο βάναυσο) να ακούμε κυρτή συνάρτηση και να προεξοφλούμε την παραγωγισιμότητά της

Σχετικά με το β) ερώτημα:

Με βάση τους ορισμούς του σχολικού βιβλίου, η ευθεία δεν είναι ούτε κυρτή ούτε κοίλη. (αν και αν χαλαρώσουμε τον ορισμό, είναι και τα δύο).

[KARKAR]

1) Απολύτως ναι. (Ορισμός)

2) Τίποτα αφού είναι παραγωγίσιμη με σταθερή παράγωγο (δηλαδή ούτε γν. αύξουσα , ούτε γν. φθίνουσα)

[Μάκης Χατζόπουλος]

Με καλύψατε! Ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας!

Σημείωση: Ο κος Μπουνάκης γράφει στην σελίδα 22 (Διαφορικός Λογισμός ΙΙ) στο 3δ.

"Με δεδομένο ότι μια συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη σε ένα διάστημα, εξ' ορισμού, είναι συνεχής σ' αυτό και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Επομένως αν το Δ είναι ανοικτό, τότε είναι παραγωγίσιμη σ' αυτό. Αυτό ξεχνιέται συνέχεια από τους μαθητές και πρέπει να τονιστεί ιδιαίτερα."

[matha]

Θα μου επιτρέψετε να διαφωνήσω. Ο ορισμός που δίνεται στο σχολικό βιβλίο για την κυρτή συνάρτηση, έπεται των προϋποθέσεων η συνάρτηση να είναι συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.

Δηλαδή, κάποιος που συναντάει για πρώτη φορά την έννοια της κυρτότητας και διαβάσει τον ορισμό της από το σχολικό βιβλίο, καταλαβαίνει ότι, όταν η είναι συνεχής στο Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, τότε η λέγεται κυρτή στο Δ αν.... κ.τ.λ.
Αυτό όμως δε σημαίνει (πάντα σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο) ότι αν η συνάρτηση είναι κυρτή, τότε συνεχής κ.τ.λ.

Κάτι τέτοιο θα μπορούσε να συμβεί αν είχαμε έναν ορισμό του τύπου:

-Η συνάρτηση είναι κυρτή στο Δ αν είναι συνεχής σε αυτό, παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του και η είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ.

Νομίζω, μια αντίστοιχη περίπτωση είναι το ολοκλήρωμα συνάρτησης σε διάστημα . Στο σχολικό βιβλίο, περιοριζόμαστε μόνο σε περιπτώσεις κατά τις οποίες η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι συνεχής (χωρίς όμως αυτό να είναι γενικότερα απαραίτητο). Ωστόσο, το θεωρώ... άκομψο, κάθε φορά που συναντάμε το σύμβολο να θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο , χωρίς αυτο να αναφερέται ρητά.

Περιμένω τις απόψεις σας.

[chris_gatos]

Συμφωνώ (κι επαυξάνω) με το Θάνο, αλλά με τόσες συμβάσεις που κάναμε,κάνουμε και θα κάνουμε στο τέλος
θα είναι όλα δεκτά..
Πολλά βιβλία δίνουν άσκησεις με δεδομένο πως η f κυρτή και δις παραγωγίσιμη σε διάστημα και ξεκινάνε τη λύση με
''Αφού η f κυρτή τότε f''(x)>0'' κτλ,κτλ.
Πετάει ο όνος;
Πετάει,πετάει...
Σταματάω εδώ γιατί είναι θέματα λεπτά που κάποιες φορές μπερδεύουν ανθρώπους που δεν πρέπει να μπερδευτούν.
Το σχολικό βιβλίο επιμένω(γιατί έχω ξαναθέσει απορία με την κυρτότητα) δε με καλύπτει πλήρως στην επιλογή που έχει κάνει σε αυτό το κομμάτι.

[k-ser]

Θα μου επιτρέψετε να διαφωνήσω. Ο ορισμός που δίνεται στο σχολικό βιβλίο για την κυρτή συνάρτηση, έπεται των προϋποθέσεων η συνάρτηση να είναι συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.

Θα συμφωνήσω με τον Θάνο. Πρέπει να είμαστε προσεκτικοί στη διατύπωση θεμάτων που έχουν να κάνουν με τον ορισμό της κυρτής συνάρτησης, όπως αυτός δίνεται στο σχολικό βιβλίο.

Έστω μία συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ’ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ. Θα λέμε ότι:
• Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f΄ είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.
• Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f΄ είναι γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.

Ο ορισμός θέτει προϋπόθεση η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.
Συνεπώς,
δεν μπορούμε να δώσουμε θέμα - άσκηση στην οποία να αναφέρουμε ότι μια συνάρτηση είναι κυρτή στο Δ χωρίς να δίνεται ότι η συνάρτηση είναι: σ υ ν ε χ ή ς στο διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.

[Μάκης Χατζόπουλος]

Φαντάζομαι ότι ξέρετε ότι πολλά βιβλία (εξωσχολικά) αναφέρουν κυρτή συνάρτηση και στην απόδειξη χρησιμοποιούν την παράγωγο, ενώ πιο κάτω, σε άλλη άσκηση αναφέρουν στην εκφώνηση κυρτή και παραγωγίσιμη συνάρτηση, με αποτέλεσμα να μην κρατάνε μια σταθερή γραμμή σε αυτό το θέμα και τελικά να μπερδεύουν τους ίδιους αναγνώστες τους.

Ο κος Μπουνάκης στις σημειώσεις του, για αυτό το θέμα, αναφέρει ότι στους ορισμούς η λέξη "αν" ή λέξη "τότε" σημαίνει "αν, και μόνο αν"...

Τι λέτε γι' αυτό; Κάτι ανάλογο είχε πει και ο Αντώνης...

[matha]

...
Ο κος Μπουνάκης στις σημειώσεις του, για αυτό το θέμα, αναφέρει ότι στους ορισμούς η λέξη "αν" ή λέξη "τότε" σημαίνει "αν, και μόνο αν"...

...

Μάκη σύμφωνοι! Αλλά αυτό είναι άλλο θέμα. Όντως συνηθίζεται σε (να μην πω όλα, αλλά εκτός ενός συνόλου μέτρου μηδέν )σχεδόν όλα τα βιβλία, είτε αυτά είναι ελληνικά, είτε είναι αμερικάνικα, γερμανικά, ρουμάνικα, κ.τ.λ., στους ορισμούς, αντί να λέμε αν και μόνο αν, ακριβώς τότε όταν και άλλες συναφείς εκφράσεις, να αρκούμαστε στο αν (νέτα σκέτα).

[Μάκης Χατζόπουλος]

Θάνο είναι το ίδιο που λέμε γιατί,

Δεχόμαστε τελικά ότι,

Έστω μία συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ’ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ, τότε

Η συνάρτηση f είναι κυρτή στο Δ,η f ' είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ,

άρα αν f κυρτή στο Δ τότε η f ' είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ αλλά με την προϋπόθεση ότι μας δίνουν την f παραγωγίσιμη;

Αν ναι, τότε πρέπει να αλλάξουμε πολλά βιβλία!

Πάντως και εγώ έτσι το βρίσκω λογικό, αλλά δεν θέλω το λογικό αλλά αυτό που εννοεί το σχολικό βιβλίο...

[Μάκης Χατζόπουλος]

Σωστό ή Λάθος;;;

Αν f είναι κυρτή στο R τότε

Εδώ τι θα απαντούσαμε;; Σφαγή;;

[k-ser]

Μάκη, με ελάχιστες εξαιρέσεις, οι θεματοδότες είναι... καλοί άνθρωποι!

[killbill]

Θα μου επιτρέψετε να διαφωνήσω. Ο ορισμός που δίνεται στο σχολικό βιβλίο για την κυρτή συνάρτηση,
Αυτό όμως δε σημαίνει (πάντα σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο) ότι αν η συνάρτηση είναι κυρτή, τότε συνεχής κ.τ.λ.

γιατί δεν σημαίνει ότι είναι συνεχής;
Από τη στιγμή που είναι κυρτή, σύμφωνα με τον ορισμό η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης είναι γνησίως αύξουσα.
Δηλαδή εννοείται ότι υπάρχει η πρώτη πράγωγος, αλλιώς δεν θα μπορούσαμε να μιλάμε καν για αυτήν, πόσο μάλλον αν είναι γνησίως αύξουσα.
Άρα αφού υπάρχει η πρώτη παράγωγος η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής.

χάνω κάτι;

[chris_gatos]

Θα μου επιτρέψετε να διαφωνήσω. Ο ορισμός που δίνεται στο σχολικό βιβλίο για την κυρτή συνάρτηση,
Αυτό όμως δε σημαίνει (πάντα σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο) ότι αν η συνάρτηση είναι κυρτή, τότε συνεχής κ.τ.λ.

γιατί δεν σημαίνει ότι είναι συνεχής;
Από τη στιγμή που είναι κυρτή, σύμφωνα με τον ορισμό η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης είναι γνησίως αύξουσα.
Δηλαδή εννοείται ότι υπάρχει η πρώτη πράγωγος, αλλιώς δεν θα μπορούσαμε να μιλάμε καν για αυτήν, πόσο μάλλον αν είναι γνησίως αύξουσα.
Άρα αφού υπάρχει η πρώτη παράγωγος η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής.

χάνω κάτι;

Κακώς το συζητάμε τώρα, αλλά αν προσέξεις αυτό που γράφει ο Θάνος αλλά κυρίως αυτό που λες θα δεις πως κάνεις κύκλους.
Δε θα πω κάτι άλλο αν θέλεις συνέχεια προτιμώ σε π,μ .

[Μάκης Χατζόπουλος]

Βασίλη διάβασε παραπάνω τις απαντήσεις του Θάνου , Κώστα και θα καταλάβεις τι χάνεις...

[dimkat]

Όσον αφορά παντως τις εξετάσεις, στην εξεταστέα ύλη σύμφωνα με το υπουργείο ''Θα μελετηθούν μόνο οι συναρτήσεις που είναι δύο, τουλάχιστον, φορές παραγωγίσιμες στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού τους''

[killbill]

Σύμφωνα με τον ορισμό του σημείου καμπής (σελ 275 σχολικού) για να είναι ένα σημείο, σημείο καμπής, πρέπει να συντρέχουν δύο προϋποθέσεις.
Η συνάρτηση να αλλάζει κυρτότητα δεξιά και αριστερά του σημείου, και να έχει εφαπτομένη στο σημείο αυτό.

Δεν έχω δεί όμως κανένα αντιπαράδειγμα, ούτε στο βιβλίο ούτε σε βοηθήματα, που η δεύτερη παράγωγος να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του σημείου, όμως να μην έχει εφαπτομένη σε αυτό.

Έχει υπόψη του κανείς κανένα παράδειγμα;

[parmenides51]

Πάρε μια συνάρτηση που να μηδενίζεται η δεύτερη παράγωγος σε διάστημα και για τιμές μικρότερες του διαστήματος να είναι θετική και για τιμές μεγαλύτερες του διαστήματος να είναι αρνητική. Τότε με βάση το σχολικό δεν έχουμε σημεία καμπής. Την ίδια λογική είχαν όλα τα αντιπαραδείγματα που δόθηκαν για το λάθος θέμα του 2003 (4.γ) , δες κι εδώ.

[killbill]

δεν μου κάνει το παράδειγμα αυτό για να το χρησιμοποιήσω ως αντιπαράδειγμα του ορισμού του σημείου καμπής.

Θέλω η δεύτερη παράγωγος να είναι θετική πριν από ένα ΣΗΜΕΙΟ (και όχι διάστημα) και αρνητική μετά από αυτό το σημείο, όμως να μην υπάρχει η εφαπτομένη στο σημείο αυτό

[Demetres]

Για δες την .