Μία ανισότητα

#1

Έστω f συνάρτηση με $\displaystyle{ f''\left( x \right) \ge 0 }$ για κάθε πραγματική τιμή του x κι έστω $\displaystyle{ u = u(t) }$ μία τυχαία αλλά συνεχής συνάρτηση στους πραγματικούς.Τότε αν α>0 να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{ \frac{1}{a}\int\limits_0^a {f[u(t)} ]dt \ge f\left( {\frac{1}{a}\int\limits_0^a {u(t)dt} } \right) }$ .
Καλό μεσημέρι Σαββάτου σε όλους.

#2

chris_gatos έγραψε:Έστω f συνάρτηση με $\displaystyle{ f''\left( x \right) \ge 0 }$ για κάθε πραγματική τιμή του x κι έστω $\displaystyle{ u = u(t) }$ μία τυχαία αλλά συνεχής συνάρτηση στους πραγματικούς.Τότε αν α>0 να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{ \frac{1}{a}\int\limits_0^a {f[u(t)} ]dt \ge f\left( {\frac{1}{a}\int\limits_0^a {u(t)dt} } \right) }$ .
Καλό μεσημέρι Σαββάτου σε όλους.

Παίρνουμε οποιαδήποτε διαμέριση 0=x_0<x_1<...<x_n=a

του

και τυχαία $\xi_k \in [x_{k-1},x_k]$ .

Αφού $\sum \frac{x_k -x_{k-1}}{a}= \frac{a -0}{a}=1$ ,
από την Jensen, λόγω κυρτότητας, με βάρη $\frac{x_1-x_0}{a}, ... , \frac{x_n-x_{n-1}}{a}$ έχουμε

$\frac {1}{a} \sum f( u(\xi_k})) (x_k -x_{k-1})\ge f\left(\frac {1}{a} \sum u(\xi_k}) (x_k -x_{k-1}) \right)$

Παίρνοντας όριο καθώς το πλάτος των διαμερίσεων τείνουν στο 0, τα αθροίσματα τείνουν στα αντίστοιχα ολοκληρώματα (κριτήριο Riemann), από όπου η ζητούμενη.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#3

Επεξεργασία: Όταν έγραφα το κείμενο νόμιζα πως η άσκηση ήταν στα Α.Ε.Ι-Ανάλυση. Μιας και έκανα όμως τον κόπο να τα γράψω το αφήνω.

Δίνω μια απάντηση που ουσιαστικά είναι η ίδια με αυτήν του Μιχάλη αλλά χρησιμοποιεί πιο εξειδικευμένη ορολογία:

Έστω

η ομοιόμορφη κατανομή στο [0,a]

και έστω

η τυχαία μεταβλητή που ορίζεται ως Y = u(X)

. Τότε εξ ορισμού

$\displaystyle{\mathbb{E} Y = \frac{1}{a} \int_0^a u(t) \; dt}$ και $\displaystyle{\mathbb{E} f(Y) = \frac{1}{a} \int_0^a f(u(t)) \; dt}$

Από τις συνθήκες τις άσκησης η

είναι κυρτή και άρα από την ανισότητα Jensen έχουμε $\displaystyle{ \mathbb{E}(f(Y)) \geqslant f(\mathbb{E}(Y))}$ , δηλαδή η ζητούμενη ανισότητα ισχύει.

Φυσικά η ανισότητα Jensen που έγραψα πιο πάνω αποδεικνύεται από την ανισότητα Jensen για αθροίσματα ακριβώς όπως το έκανε ο Μιχάλης. Μόνο που δεν χρειάζεται να επαναλαμβάνουμε την απόδειξη κάθε φορά αλλά την έχουμε έτοιμη. (Αρκεί βέβαια να βρούμε την κατάλληλη τυχαία μεταβλητή.)

Μία ανισότητα

Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση