Ταυτοτική συνάρτηση

#1

Από τον Νίκο Ζανταρίδη (Ρουμανικής προελεύσεως)

Η συνάρτηση $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ είναι συνεχής με την ιδιότητα

$\forall n \in \mathbb{N}^* \wedge \forall x_1,x_2,...,x_n \in [0,1] :$

$x_1+x_2+...+x_n=1 \Rightarrow f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)=1$ .

Να αποδειχθεί ότι $f(x)=x, \forall x \in [0,1]$

#2

s.kap έγραψε:Από τον Νίκο Ζανταρίδη (Ρουμανικής προελεύσεως)

Η συνάρτηση $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ είναι συνεχής με την ιδιότητα

$\forall n \in \mathbb{N}^* \wedge \forall x_1,x_2,...,x_n \in [0,1] :$

$x_1+x_2+...+x_n=1 \Rightarrow f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)=1$ .

Να αποδειχθεί ότι $f(x)=x, \forall x \in [0,1]$

Με εφαρμογή της ιδιότητας για $\displaystyle{n=2}$ έχουμε ότι

για κάθε $\displaystyle{x_1,x_2 \in [0,1]}$ με $\displaystyle{x_1+x_2=1}$ ισχύει

$\displaystyle{\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\geq f\left(\frac{x_1+x_2}{2} \right)}$ (1)

και επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής, η $\displaystyle{f}$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{[0,1].}$ (με την ευρεία έννοια)

Επειδή όμως η (1) ισχύει ως ισότητα, πρέπει τα $\displaystyle{x_j}$ να είναι ίσα (άτοπο, αφού είναι τυχαία του διαστήματος $\displaystyle{[0,1]}$ με $\displaystyle{x_1+x_2=1}$ ), ή η $\displaystyle{f}$ να είναι η ταυτοτική στο διάστημα $\displaystyle{[0,1].}$

#3

Διαφορετικά:

(α) Για κάθε $n \in \mathbb{N}$ , παίρνοντας $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 1/n$ παίρνουμε f(1/n) = 1/n

.

(β) Για κάθε $m \in \mathbb{N}$ με 1 < m < n

, παίρνοντας $x_1 = m/n, x_2 = \cdots = x_{n-m} = 1/n$ και $x_{n-m+1} = \cdots = x_n = \frac{1}{nm}$ και χρησιμοποιώντας το (α) παίρνουμε f(m/n) = m/n

.

Άρα

για κάθε $q \in \mathbb{Q} \cap [0,1]$ . Τέλος, από την συνέχεια της

παίρνουμε

για κάθε $x \in [0,1]$ .

Ταυτοτική συνάρτηση

Ταυτοτική συνάρτηση

Re: Ταυτοτική συνάρτηση

Re: Ταυτοτική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση