Είναι "νόμιμο" ;

KARKAR · #1

Θα θεωρούσατε "νόμιμο" το παρακάτω θέμα ; Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\frac{e^{x}-1}{x} , x\in R^{*}$ .
Α) Δείξτε ότι η

, είναι γνησίως αύξουσα στο $R^{*}$ .

Β) Τι πρέπει να προστεθεί στα δεδομένα ώστε η

, είναι γνησίως αύξουσα στο

;

Το ενδιαφέρον εστιάζεται στο αν μπορεί σε σχολική επίσημη εξέταση , να τεθεί το 2ο ερώτημα .

#2

Υποθέτω ότι αυτό που θέλει να πει η άσκηση, αλλά δεν το διατυπώνει με σαφήνεια είναι: Πώς πρέπει να ορίσουμε την f στο 0 ώστε η επεκτεταμένη αυτή συνάρτηση να είναι γνήσια αύξουσα σε όλο το R;

Όπως είναι διατυπωμένη η ερώτηση, εγείρει ερωτηματικά. Δεν θα την διατύπωνα έτσι!

Μ.

Απάντηση: f(0)=1

διότι τα δύο πλευρικά όρια στο 0 είναι 1.

#3

KARKAR έγραψε:Θα θεωρούσατε "νόμιμο" το παρακάτω θέμα ; Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\frac{e^{x}-1}{x} , x\in R^{*}$ .
Α) Δείξτε ότι η , είναι γνησίως αύξουσα στο ${\color{red} R^*}$ .

Β) Τι πρέπει να προστεθεί στα δεδομένα ώστε η , είναι γνησίως αύξουσα στο ;

Το ενδιαφέρον εστιάζεται στο αν μπορεί σε σχολική επίσημη εξέταση , να τεθεί το 2ο ερώτημα .

γνησίως αύξουσα στο ${\color{red} R^*}$ .
Αυτό είναι καραμπινάτα παράνομο.

#4

rek2 έγραψε: γνησίως αύξουσα στο ${\color{red} R^*}$ .
Αυτό είναι καραμπινάτα παράνομο.

Κώστα, δεν νομίζω να υπάρχει πρόβλημα εκεί.

Έχει νόημα να λέμε ότι μία πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής είναι ή δεν είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, ΟΠΟΙΟ και αν είναι το πεδίο οισμού (ακόμη και αν έχει "τρύπες").
Π.χ. η $f : \mathbb Q \rightarrow \mathbb R, \, f(x) = x$ είναι γνήσια αύξουσα.

Μ.

#5

Όπως έγραψε και ο Μιχάλης , το δεύτερο ερώτημα δεν είναι διατυπωμένο καλά, οπότε δεν μπορεί να τεθεί όχι μόνο σε σχολείο αλλά πιθανόν και σε άλλα ιδρύματα.Εκτός αυτού δεν είναι στο σχολικό πνεύμα, αν και αρέσει σε εμάς.
Στο πρώτο ερώτημα τώρα, η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, αλλά αυτό δεν είναι διάστημα. Το σχολικό ορίζει τη μονοτονία σε διάστημα και όχι στο πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης. Από αυτή τη σκοπιά δεν είναι καλή ενέργεια να τεθεί ερώτημα στις εξετάσεις, αν και δεν είναι μαθηματικό ατόπημα.Προσωπικά θα προτιμούσα ο ορισμός της μονοτονίας να είχε δοθεί σε σύνολο Α , όπως και με άλλους ορισμούς , και όχι σε διάστημα. Αυτό όμως δεν έχει καμιά σημασία , μια και τίποτα δεν μπορεί να αλλάξει.
Φυσικά η άσκηση γίνεται πολύ ενδιαφέρουσα, αν οριστεί στο IR όπως είπε ο Μιχάλης και ζητηθεί η μονοτονία της καθώς και άλλα ωραία ερωτήματα.

Μπάμπης

Είναι "νόμιμο" ;

Είναι "νόμιμο" ;

Re: Είναι "νόμιμο" ;

Re: Είναι "νόμιμο" ;

Re: Είναι "νόμιμο" ;

Re: Είναι "νόμιμο" ;

Μέλη σε σύνδεση