Υπάρχει;

#1

Πως μπορούμε να δούμε αν όντως υπάρχει συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$
ώστε $\displaystyle{ f(8) = 5 }$ και $\displaystyle{ f(x)f(f(x)) = 2 }$ για κάθε πραγματικό αριθμό.
Μία πρόχειρη αλλά με πεδίο ορισμού τους θετικούς θα ήταν η $\displaystyle{ \frac{2}{x} }$ (που φυσικά δεν ικανοποιεί την αρχική συνθήκη,αλλά ικανοποιεί τον τύπο)
Είχα διαβάσει μία μέθοδο σε κάποιο Απολλώνιο(δε θυμάμαι τεύχος) την οποία και έχω ξεχάσει και δε μπορώ να έχω
εδώ στη Χάλκη.

#2

Χρήστο δεν γνωρίζω αν θέλεις η συνάρτηση να είναι και συνεχής. Για μη συνεχή θα μπορούσαμε να πάρουμε

$\displaystyle{f(x) = \begin{cases} 2/x & x \neq 0,1/4,8 \\ 5 & x=0,1/4,8.\end{cases}}$

#3

Δημήτρη έχεις δίκιο.Την ώρα που έγραφες συμπλήρωσα στα κλεφτά αυτό που έλειπε.
Τη συνέχεια.

#4

chris_gatos έγραψε:Δημήτρη έχεις δίκιο.Την ώρα που έγραφες συμπλήρωσα στα κλεφτά αυτό που έλειπε.
Τη συνέχεια.

Και έλεγα άλλη φορά πρέπει να διαβάζω πιο προσεκτικά. Να και μια συνεχής

$\displaystyle{f(x) = \begin{cases} 5 & x < 2/5 \\ 2/x & x \in [2/5,5] \\ 30/(23(8-x)+6) & x \in (5,8] \\ 5 & x > 8\end{cases}}$

#5

Δε φταίς εσύ,εγώ συμπλήρωσα κατόπιν εορτής!
Ευχαριστώ για την απάντηση.
Θα ήθελα όμως και μία μέθοδο σκέψης(αν υπάρχει φυσικά!)

#6

chris_gatos έγραψε: Θα ήθελα όμως και μία μέθοδο σκέψης(αν υπάρχει φυσικά!)

Βέβαια. Για να ικανοποιήσουμε την δεύτερη συνθήκη αρκεί (και είναι αναγκαίο) να ισχύει ότι f(x) = 2/x

για κάθε

το οποίο ανήκει στο πεδίο τιμών της

. Απαραίτητα το 5 και άρα και το 2/5 και άρα και το [2/5,5] πρέπει να ανήκουν/περιέχονται στον πεδίο τιμών.

Από εκεί και πέρα η προσπάθεια είναι να ορίσουμε την

και στους υπόλοιπους πραγματικούς ώστε το πεδίο τιμών να παραμείνει το [2/5,5] και η συνάρτηση να είναι συνεχής.

Βλέπω τώρα ότι υπήρχε ένα μικρό λάθος (το οποίο διορθώθηκε) με την συνάρτηση που έδωσα αφού δεν ικανοποίησα την πρώτη συνθήκη.

Το πιο πολύπλοκο είναι τι συμβαίνει με το διάστημα [5,8]. Χρειάζεται να στείλω το 5 στο 2/5, το 8 στο 5 και τα υπόλοιπα στο [2/5,5] με ένα συνεχή τρόπο. Αρκεί βέβαια να βρω ένα γραμμικό μετασχηματισμό που στέλνει το [5,8] στο [5,2/5] και μετά να χρησιμοποιήσω τον μετασχηματισμό 2/x

.

#7

Ok Δημήτρη,νομίζω πως κατάλαβα το σκεπτικό σου.
Ευχαριστώ πολύ!

Υπάρχει;

Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Μέλη σε σύνδεση