Συναρτησιακή 187

#1

Καλημέρα

Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ , η οποία έχει αρχική και για μία οποιαδήποτε

αρχική της $\displaystyle{F}$ ικανοποιεί τις σχέσεις $\displaystyle{\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left(F\circ f\right)=+\infty}$ και $\displaystyle{\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\left(F\circ f\right)=-\infty}$

dement · #2

Καλημέρα Σπύρο και να 'σαι καλά για τα ωραία προβλήματα που βάζεις.

Για την

ισχύει ότι:

1. Η εικόνα διαστήματος είναι διάστημα (ιδιότητα Darboux).

2. Η εικόνα μη φραγμένου συνόλου είναι μη φραγμένο σύνολο (αλλιώς η εικόνα της $F \circ f$ θα ηταν φραγμένη λόγω συνέχειας της

και αυτό θα αντέβαινε στα άπειρα όρια).

3. $\displaystyle \bigcap_{x \in \mathbb{R}} f \left( [x, + \infty) \right) = \bigcap_{x \in \mathbb{R}} f \left( (- \infty, x] \right) = \emptyset$ (από τα άπειρα όρια).

Από αυτά έπεται ότι υπάρχει y > 0

τέτοιο ώστε είτε $\displaystyle f \left( [y, + \infty) \right) \subseteq (0, + \infty)$ και $\displaystyle f \left( ( - \infty, y] \right) \subseteq (- \infty, 0)$ είτε αντίστροφα.

Στην πρώτη περίπτωση η

είναι φραγμένη κάτω (με ολικό ελάχιστο στο [-y,y]

) και στη δεύτερη φραγμένη άνω, οπότε έχουμε άτοπο.

#3

Ας κάνω μία προσπάθεια να αναπτύξω τον πυκνό λόγο του Δημήτρη:

Με απαγωγή σε άτοπο.

Θέτω $g=F \circ f$

Η

ως σύνθεση δύο συναρτήσεων εχόντων την ιδιότητα Darboux, έχει την ιδιότητα Darboux και επειδή

$\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}g(x)=-\infty}$ , $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty}$

θα έχουμε $\displaystyle{g(\mathbb{R})= \mathbb{R} \Rightarrow F\left(f\left(\mathbb{R}\right)\right)=\mathbb{R}}$ .

Το $\displaystyle{f\left(\mathbb{R}\right)}$ είναι προφανώς διάστημα, το οποίο πρέπει να έχει και τα δύο άκρα του μη πεπερασμένα,

γιατί σε αντίθετη περίπτωση, αν ας πούμε $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)=a \in \mathbb{R}}$ , τότε, λόγω της συνέχειας

της $\displaystyle{F}$ : $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}F(f(x))=\lim_{y \to a}F(y) \in \mathbb{R}}$ , άτοπο.

Άρα $\displaystyle{f\left(\mathbb{R}\right)=\mathbb{R}}$ , συνεπώς και $\displaystyle{F\left(\mathbb{R}\right)=\mathbb{R}}$

Έχουμε $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty}$ , άρα υπάρχει $\displaystyle{a>0}$ ώστε $\displaystyle{g(x) \ge F(0), \forall x \ge a}$

Ισχυρισμός: Η $\displaystyle{F}$ είναι 1-1 στο $\displaystyle{[a,+\infty)}$

Με άτοπο. Έστω πως υπάρχουν $\displaystyle{x,y \in [a,+\infty), x<y}$ με $\displaystyle{F(x)=F(y)}$ , άρα (Rolle) υπάρχει $\displaystyle{x_0 \in (x,y)}$ , ώστε

$\displaystyle{f(x_0)=0 \Rightarrow F(0)<g(x_0)=F(f(x_0))=F(0)}$ , άτοπο.

Ομοίως αποδεικνύεται ότι υπάρχει $\displaystyle{b<0}$ ώστε η $\displaystyle{F}$ να είναι 1-1 στο $\displaystyle{(-\infty,b]}$ .

Επειδή η $\displaystyle{F}$ είναι και συνεχής θα είναι γνησίως μονότονη στο $\displaystyle{[a,+\infty)}$ (χωρίς βλάβη της γενικότητας) υποθέτουμε

ότι είναι γνησίως αύξουσα, άρα $\displaystyle{\lim_{x \to + \infty}F(x)=c}$ ή $\displaystyle{+\infty}$

Αν ισχύει το πρώτο, τότε

$\displaystyle{F\left(\mathbb{R}\right)=F\left((-\infty,b]\right) \cup F\left([b,a]\right) \cup F\left([a,+\infty)\right)}$ ,

δηλαδή το $\displaystyle{F\left(\mathbb{R}\right)=\mathbb{R}}$ , είναι ένα διάστημα φραγμένο από τη μία πλευρά, άτοπο.

Ομοίως αποδεικνύεται ότι $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}F(x)=-\infty}$ , συνεπώς η $\displaystyle{F}$ , η οποία είναι 1-1 στο $\displaystyle{(-\infty,b]}$ θα είναι

υποχρεωτικά γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{(-\infty,b]}$ , άρα $\displaystyle{F^{\prime}(x)=f(x) \ge 0, \forall x \in (-\infty,b]}$

Συνεπώς

$\displaystyle{g\left((-\infty,b]\right)\subseteq F\left([0,+\infty)\right)=F\left([0,a]\right) \cup F\left([a,+\infty)\right)=[m,+\infty)}$ , με $\displaystyle{m \in \mathbb{R}}$ ,

άτοπο, γιατί $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}g(x)=-\infty}$

Συναρτησιακή 187

Συναρτησιακή 187

Re: Συναρτησιακή 187

Re: Συναρτησιακή 187

Μέλη σε σύνδεση