Εύρεση συνάρτησης

mathxl · #1

Έστω $G:R\rightarrow R$ μια γνησίως μονότονη συνάρτηση. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:[0,1]\rightarrow R$ που είναι τέτοιες ώστε
$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)G(f(x))dx=\int_{0}^{1}f(x)dx\int_{0}^{1}G(f(x))dx$

#2

Βασίλη κάποια υπόδειξη;
Προφανώς και πρόκειται για τις σταθερές συναρτήσεις.
Φτάνω στο σημείο όπου υποθέτω πως υπάρχει τιμή $\displaystyle{ x_0 }$ με $\displaystyle{ f(x_0 ) \ne c }$ λέω πως λόγω συνέχειας υπάρχει περιοχή $\displaystyle{ \left[ {x_0 - \varepsilon ,x_0 + \varepsilon } \right] }$
όπου η $\displaystyle{ f - c }$ διατηρεί πρόσημο μα δε μπορώ να καταλήξω σε άτοπο αφού δε μπορώ με τίποτα να χρησιμοποιήσω τη μονοτονία της G.

(όλα αυτά με την προυπόθεση πως το $\displaystyle{ x_0 }$ είναι εσωτερικό σημείο.Αν είναι άκρο μπορούμε να πάρουμε αριστερή ή δεξιά περιοχή)

Η σκέψη μου ξεκίνησε ως εξής:

Θέτω $\displaystyle{ \int\limits_0^1 {f(x)dx} = c }$ συνεπώς η ζητούμενη μπορεί να γίνει: $\displaystyle{ \int\limits_0^1 {G(f(x))(f(x) - c)dx} = 0 }$

mathxl · #3

Χρήστο καλημέρα.
Να σου πω την εμπειρία μου με την συγκεκριμένη. Στην αρχή την κοίταξα, μετά με κοίταξε, έπειτα ξανακοιταχτήκαμε για αρκετή ώρα...αλλά τζίφος

Δεν έχω λύση και είναι αναπάντητη ΄στο math;inks το οποίο είναι και η πηγή της άσκησης http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=405597.

#4

Μέχρι και στην ολοκλήρωση Στίλτζες πήγε το νοσηρό μυαλό μου...

#5

Από την μονοτονία της

έχουμε $(f(x) - f(y))(G(f(x)) - G(f(y))) \geqslant 0$ για κάθε $x,y \in [0,1]$ . Επομένως

$\displaystyle{ \int_0^1 \int_0^1 (f(x) - f(y))(G(f(x)) - G(f(y))) \; dx \;dy \geqslant 0 }$

Το αριστερό όμως μέλος ισούται με $\displaystyle{ 2\int_0^1 f(x)G(f(x)) \; dx - 2\int_0^1 f(x) \; dx \int_0^1 G(f(x)) \; dx}$ και άρα $\displaystyle{\int_0^1 f(x)G(f(x)) \; dx \geqslant \int_0^1 f(x) \; dx \int_0^1 G(f(x)) \; dx}$

Αν τώρα η

δεν είναι σταθερή, υπάρχουν δηλαδή $x_0,y_0 \in [0,1]$ με $f(x_0) \neq f(y_0)$ , τότε από την συνέχεια της

υπάρχουν ανοικτά διαστήματα $A,B \subseteq [0,1]$ με $f(x) \neq f(y)$ για κάθε $x \in A, y\in B$ . Από την γνήσια μονοτονία της

παίρνουμε

για κάθε $x \in A, y\in B$ και με την ίδια διαδικασία καταλήγουμε σε $\displaystyle{\int_0^1 f(x)G(f(x)) \; dx > \int_0^1 f(x) \; dx\int_0^1 G(f(x)) \; dx}$

Επομένως η

πρέπει να είναι σταθερή. (Το αντίστροφο είναι προφανές.)

Ίδια μέθοδος και από τον Νίκο Κατσίπη σε αυτό το θέμα.

#6

Δημήτρη αυτήν τη μέθοδο την είχα κι εγω υπ'όψη μου αλλά νομίζω πως λέει και οι δύο συναρτήσεις γνησίως μονότονες.
Από που προκύπτει πως και η f στη δική μας περίπτωση είναι γνησίως μονότονη(έστω μονότονη);
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#7

chris_gatos έγραψε:Δημήτρη αυτήν τη μέθοδο την είχα κι εγω υπ'όψη μου αλλά νομίζω πως λέει και οι δύο συναρτήσεις γνησίως μονότονες.
Από που προκύπτει πως και η f στη δική μας περίπτωση είναι γνησίως μονότονη;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Χρήστο αρχικά σκεφτόμουν να παραθέσω μόνο τον σύνδεσμο της άλλης συζήτησης αλλά επειδή ήθελε λίγο περισσότερη δουλειά την έγραψα αναλυτικά. Δεν χρησιμοποιώ το θεώρημα της άλλης συζήτησης αλλά την μέθοδο απόδειξης. Η απάντηση στην ερώτησή σου είναι ότι δεν χρειάζομαι την μονοτονία της

. Αυτό που θέλω να ισχύει είναι το πιο κάτω:

Demetres έγραψε: $(f(x) - f(y))(G(f(x)) - G(f(y))) \geqslant 0$ για κάθε $x,y \in [0,1]$ .

Κάπως πιο αναλυτική απόδειξη: Αν $f(x) \geqslant f(y)$ τότε από την μονοτονία της

έχουμε $G(f(x)) \geqslant G(f(y))$ και άρα $(f(x) - f(y))(G(f(x)) - G(f(y))) \geqslant 0$ . Αν $f(x) \leqslant f(y)$ τότε από την μονοτονία της

έχουμε $G(f(x)) \leqslant G(f(y))$ και άρα $(f(x) - f(y))(G(f(x)) - G(f(y))) \geqslant 0$ .

#8

Demetres έγραψε:Από την γνήσια μονοτονία της παίρνουμε για κάθε $x \in A, y\in B$ και με την ίδια διαδικασία καταλήγουμε σε $\displaystyle{\int_0^1 f(x)G(f(x)) \; dx > \int_0^1 G(f(x)) \; dx}$

Επομένως η πρέπει να είναι σταθερή. (Το αντίστροφο είναι προφανές.)

Ανακαλώ για λίγο και παρακαλώ τον Δημήτρη ή όποιον άλλο μπορεί να μου υποδείξει που είναι το άτοπο.
Συγχωρέστε με αλλά διάβαζα από το πρωϊ και δεν έδωσα και τόση σημασία.Τώρα που το κοιτάζω ειλικρινά
δεν καταλαβαίνω που είναι το άτοπο.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#9

Ούτε εγώ το βλέπω.

#10

Eυχαριστώ Αναστάση!
Νομίζω πως στην αρχή τελικά έχει ξεχάσει να μεταφέρει ένα ολοκλήρωμα.
Όλα καλά,κανένα πρόβλημα.

#11

Απολογούμαι. Το λάθος ήταν στο κοπυπάστωμα και στο ότι μετά αμέλησα να διαβάσω προσεκτικά το τι είχα γράψει. Θα το διορθώσω αμέσως.

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση