Είναι ενελικτική!

#1

Θεωρούμε συνεχή και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση $f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)$ , τέτοια ώστε
f(x+y)+f(f(x)+f(y)) = f(f(x+f(y))+f(y+f(x))) ,

για κάθε $x,y\in (0,+\infty).$

Να δείξετε ότι f(f(x))=x .

#2

socrates έγραψε:Θεωρούμε συνεχή και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση $f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)$ , τέτοια ώστε
(1) για κάθε $x,y\in (0,+\infty).$

Να δείξετε ότι

Θέτουμε στην (1) όπου

το

και βρίσκουμε

$f(2x)+f(2f(x))=f\left(2f(x+f(x)\right), \forall x \in (0,+\infty)$ (2)

Θέτουμε στην (2) όπου

το

και έχουμε

$f\left(2f(x)\right)+f\left(2f(f(x))\right)=f\left(2f(f(x)+f(f(x))\right), \forall x \in (0,+\infty)$ (3)

(3) μείον (2) κατά μέλη και έχουμε

$f\left(2f(f(x))\right)-f(2x)=f\left(2f(f(x)+f(f(x))\right)-f\left(2f(x+f(x)\right), \forall x \in (0,+\infty)$ (4)

Αν υποθέσουμε ότι για κάποιο $x \in (0,+\infty)$ έχουμε f(f(x))>x

, τότε η (4) δίνει

$f\left(2f(f(x)+f(f(x))\right)<f\left(2f(x+f(x)\right) \Rightarrow 2f(f(x)+f(f(x))>2f(x+f(x)$

$\Rightarrow f(f(x)+f(f(x)))>f(x+f(x)) \Rightarrow f(x)+f(f(x))<x+f(x)$

$\Rightarrow f(f(x))<x$ , αντίφαση.

Ομοίως καταλήγουμε σε αντίφαση αν υποθέσουμε ότι για κάποιο $x \in (0,+\infty)$ έχουμε

Συνεπώς $f(f(x))=x, \forall x \in (0,+\infty)$

Θα μπορούσαμε αντί $(0,+\infty)$ να είχαμε $\mathbb{R}$

Επίσης δεν βλέπω να μου χρειάστηκε η συνέχεια της συνάρτησης

Είναι ενελικτική!

Είναι ενελικτική!

Re: Είναι ενελικτική!

Μέλη σε σύνδεση