Ακριβώς δύο

irakleios · #1

Να δείξετε ότι η εξίσωση $xe^{x+2} + 2 = 0$ έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες.

Γιώργος Απόκης · #2

Θεωρώ $f(x)=xe^{x+2}+2,x\in \mathbb R$ . H

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb R$ με $f{'}(x)=e^{x+2}(x+1)$ . Eπομένως, είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty,-1]$ και γνησίως αύξουσα στο $[-1,+\infty)$ .

Παρατηρώ ότι f(-2)=0

και από το Θ. Bolzano στο [-1,0]

(η

συνεχής και f(-1)f(0)=2(2-e)<0

) υπάρχει $\rho_2\in (-1,0)$ ώστε $f(\rho_2)=0$ .

Η

επομένως έχει ως ρίζες τους αριθμούς $-2,\rho_2$ που είναι μοναδικές αφού η

είναι γνησίως μονότονη σε κάθε διάστημα που περιέχει μια ρίζα της.

Ακριβώς δύο

Ακριβώς δύο

Re: Ακριβώς δύο

Μέλη σε σύνδεση