Δεν είναι μονότονη

#1

είναι ένα σύνολο πραγματικών με δύο τουλάχιστον στοιχεία και $f:M \to M$ μία συνάρτηση ώστε $f(f(x))=f(x)-x, \forall x \in M$

Να δειχθεί ότι η

δεν είναι μονότονη

(Ρουμάνικος Διαγωνισμός Αρχιμήδης)

#2

Έστω ότι είναι μονότονη.

Τότε, ως 1-1, θα είναι γνησίως μονότονη.

Είναι f(f(f(x)))=f(f(x))-f(x)=-x

οπότε η

δε μπορεί να είναι αύξουσα.

Επομένως είναι γν. φθίνουσα. Τότε, όμως, η f(x)-x

είναι γν. φθίνουσα ενώ η f(f(x))

γν. αύξουσα, άτοπο.