Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία
Συντονιστής: emouroukos
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία
Έστω πως η συνάρτηση είναι κυρτή στο .Τότε να αποδείξετε πως η συνάρτηση είναι φθίνουσα στο
Χρήστος Κυριαζής
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1595
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm
Re: Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία
..Καλησπέρα μια προσπάθεια στην άσκηση του Χρήστου..
Αφού η κυρτή σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο θα έχει γνήσια αύξουσα στο οπότε παραγωγίσιμη στο με (1)
Επειδή τώρα για ισχύει ότι και επειδή γνήσια αύξουσα θα είναι άρα και οπότε γνήσια φθίνουσα στο
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Αφού η κυρτή σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο θα έχει γνήσια αύξουσα στο οπότε παραγωγίσιμη στο με (1)
Επειδή τώρα για ισχύει ότι και επειδή γνήσια αύξουσα θα είναι άρα και οπότε γνήσια φθίνουσα στο
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία
Καλημέρα κι ευχαριστώ το Βασίλη για τη λύση.
Θα ήθελα να δοθεί(αν κάποιος θελήσει φυσικά!) και μία λύση χωρίς το δεδομένο της παραγώγισης που ο
Βασίλης χρησιμοποίησε.
Να'στε καλά!
Θα ήθελα να δοθεί(αν κάποιος θελήσει φυσικά!) και μία λύση χωρίς το δεδομένο της παραγώγισης που ο
Βασίλης χρησιμοποίησε.
Να'στε καλά!
Χρήστος Κυριαζής
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία
Μία απόδειξη χωρίς την προϋπόθεση της παραγωγισίμοτητας:
Το ζητούμενο είναι άμεση συνέπεια της ακόλουθης πρότασης.
Πρόταση:
Αν κυρτή συνάρτηση στο διάστημα και με τότε ισχύει
Απόδειξη:
Επειδή είναι , υπάρχουν με ώστε (αυτό ουσιαστικά μας λέει ότι το διάστημα είναι κυρτό σύνολο)
Επομένως, είναι
()
(η παραπάνω ανισότητα ισχύει λόγω κυρτότητας της ).
Ακόμα είναι
Άρα, πάλι λόγω κυρτότητας, έχουμε
()
Με πρόσθεση των () προκύπτει η ζητούμενη.
Ερχόμαστε τώρα στο αρχικό πρόβλημα.
Ουσιαστικά ζητείται να αποδειχθεί, ότι αν με τότε ισχύει
Το ζητούμενο προκύπτει από την παραπάνω πρόταση, εφαρμοζόμενη στους
Πράγματι, όταν με , είναι
, οπότε έχουμε
δηλαδή
Το ζητούμενο είναι άμεση συνέπεια της ακόλουθης πρότασης.
Πρόταση:
Αν κυρτή συνάρτηση στο διάστημα και με τότε ισχύει
Απόδειξη:
Επειδή είναι , υπάρχουν με ώστε (αυτό ουσιαστικά μας λέει ότι το διάστημα είναι κυρτό σύνολο)
Επομένως, είναι
()
(η παραπάνω ανισότητα ισχύει λόγω κυρτότητας της ).
Ακόμα είναι
Άρα, πάλι λόγω κυρτότητας, έχουμε
()
Με πρόσθεση των () προκύπτει η ζητούμενη.
Ερχόμαστε τώρα στο αρχικό πρόβλημα.
Ουσιαστικά ζητείται να αποδειχθεί, ότι αν με τότε ισχύει
Το ζητούμενο προκύπτει από την παραπάνω πρόταση, εφαρμοζόμενη στους
Πράγματι, όταν με , είναι
, οπότε έχουμε
δηλαδή
Μάγκος Θάνος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Κυρτή συνάρτηση και μονοτονία
Λίγο αλλιώς: Για έχουμε οπότε, από γνωστή ιδιότητα των κυρτών συναρτήσεων,chris_gatos έγραψε:<...> λύση χωρίς το δεδομένο της παραγώγισης <...>
. Διώχνοντας τον (κοινό) θετικό παρονομαστή
έχουμε το ζητούμενο: .
Φιλικά,
Μιχάλης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες