Εύρεση συνεχούς συνάρτησης

#1

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς και περιοδικές συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{2^{f(2x)}+3^{f(3x)}=5^{f(5x)}, \forall x \in \mathbb{R}}$

(Από το Ρουμανικό περιοδικό Αρχιμήδης)

#2

Η

, ως συνεχής στο [0,T],

θα έχει μέγιστο και ελάχιστο σ' αυτό, οπότε και στο $\mathbb{R},$ αφού είναι περιοδική.

Είναι $\displaystyle 5^M=2^{f(2x_0)}+3^{f(3x_0)}\leq 2^M+3^M \Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^M+\left(\frac{3}{5}\right)^M\geq 1 \Rightarrow M\leq 1.$

Ομοίως $\displaystyle 5^m=2^{f(2x_0)}+3^{f(3x_0)}\geq 2^m+3^m \Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^m+\left(\frac{3}{5}\right)^m\leq 1 \Rightarrow m\geq 1.$

Συνεπώς, $1\leq m\leq M\leq 1 \Rightarrow M=m=1,$ δηλαδή $f\equiv 1.$

Εύρεση συνεχούς συνάρτησης

Εύρεση συνεχούς συνάρτησης

Re: Εύρεση συνεχούς συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση