Παραλαγή

#1

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $\displaystyle{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ , οι οποίες έχουν συνεχή παραγωγο και ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}}$
Παραλαγή της άσκησης του Σπύρου
Νομίζω ότι Λύνεται και χωφίς την συνέχεια της παραγώγου αλλά δεν είναι στην σχολική ύλη

#2

R BORIS έγραψε:Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $\displaystyle{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ , οι οποίες έχουν συνεχή παραγωγο και ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}}$
Παραλαγή της άσκησης του Σπύρου
Νομίζω ότι Λύνεται και χωφίς την συνέχεια της παραγώγου αλλά δεν είναι στην σχολική ύλη

Μπορούμε με χρήση μόνο της συνέχειας.

Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle {f(x+y)+1=(f(x)+1)(f(y)+1)$ . Δηλαδή αν θέσουμε g(x)=f(x)+1

, ισχύει

, που είναι γνωστή. Συγκεκριμένα (για όφελος όσων ίσως δεν το γνωρίζουν): Για κάθε $x\in \mathbb R$ είναι $g(x) = g^2\left(\frac {x}{2} \right)\ge 0$ . Aν g(x_0)=0

για κάποιο x_0

τότε η

είναι ταυτοτικά μηδέν διότι g(x)=g(x-x_0)g(x_0)=0

. Αυτό δίνει την λύση $f(x)=-1, \, \forall x$ . Αλλιώς θέτουμε $G(x)= \ln g(x)$ , οπότε G(x+y)=G(x)+G(y)

, που είναι η συναρτησιακή εξίσωση Cauchy. Για συνεχείς G, όπως η παραπάνω, είναι G(x)=cx

. Τελικά $f(x)=e^{cx}-1$ , που ικανοποιεί την δοθείσα.

Φιλικά,

Μιχάλης

Παραλαγή

Παραλαγή

Re: Παραλαγή

Μέλη σε σύνδεση