Συναρτησιακή 377

#1

Να βρεθεί η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , η οποία έχει αρχική, f(1)=1

και ικανοποιεί τη σχέση

$f(x)+f(y)=2f\left(\frac {x+y}{2}\right)+2f\left(\frac {x-y}{2}\right), \forall x,y \in \mathbb{R}$

#2

Δεν θα γράψω την λύση για να την χαρούν οι άλλοι αλλά θα σχολιάσω ότι η συναρτησιακή αυτή εξίσωση εμφανίζεται στη μελέτη εσωτερικού γινομένου στον $\mathbb R ^n$ και γενικότερα σε χώρους Hilbert. Χρειάζεται για τον χαρακτηρισμό του εσωτερικού γινομένου από την νόρμα (τα ανάποδο δηλαδή της συνηθισμένης διαδικασίας). Ονομάζεται, όπως η αντίστοιχη σχέση στην επιπεδομετρία, "κανόνας του παραλληλογράμμου ή του Απολλωνίου".
Υπάρχει και η αντίστοιχη θεωρία για μιγαδικούς χώρους με νόρμα.

Μ.

#3

Επαναφορά

#4

προφανώς $\displaystyle{f}$ άρτια[1]

με $\displaystyle{y=ct},F'=f$ έχω $\displaystyle{F(x)+xF'(y)=4F((x+y)/2)+4F((x-y)/2)+A(y)}$ [2](Α=συνάρτηση του y)

$\displaystyle{x=0}$ από [2] έχω $\displaystyle{F(0)=4(F(y/2)+F(-y/2))+A(y)}$

από [1] $\displaystyle{(F(y/2)+F(-y/2)=2F(0)}$ άρα $\displaystyle{A(y)=-7F(0)}$

η [2] για $\displaystyle{x=y}$ δίνει $\displaystyle{yF'(y)=3F(y)-3F(0)}$ η $\displaystyle{yG'(y)=3G(y),G(y)=F(y)-F(0),G(0)=0}$

εκλέγω σαν αρχική λοιπόν αυτή που έχει ρίζα το 0

$\displaystyle{y>0,y^3G'(y)=3y^2G(y)}$ άρα $\displaystyle{G(y)=ay^3,y>0}$

όμοια $\displaystyle{G(y)=by^3,y<0}$ και $\displaystyle{G(0)=0}$

άρα $\displaystyle{f(x)=3ax^2,x>0}$ και $\displaystyle{f(x)=3bx^2,x<0}$

όμως $\displaystyle{f(1)=f(-1)=1}$ και $\displaystyle{f(0)=0}$ λόγω της αρχικά δοσμένης σχέσης για $\displaystyle{x=y=0}$ δίνουν $\displaystyle{f(x)=x^2,x\in R}$

Συναρτησιακή 377

Συναρτησιακή 377

Re: Συναρτησιακή 377

Re: Συναρτησιακή 377

Re: Συναρτησιακή 377

Μέλη σε σύνδεση