Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f:[0,1] \to [0,1]$ με την ιδιότητα

$f(x)+f(y)=f(f(x)+y), \forall x,y \in [0,1] \wedge f(x)+y \in [0,1]$

GMANS · #2

Έχει δίκιο ο Θάνος (τον οποίο και ευχαριστώ)και αποσύρω την λύση μου

#3

GMANS έγραψε:Για κάθε $x,y \epsilon R$ είναι
$0\leq f(x)+y\leq 1$
για γίνεται

$-1\leq f(x)\leq 0$ για κάθε $x \epsilon R(1)$

Και $0\leq f(x)\leq 1$ για κάθε $x \epsilon R (2)$

Από (1),(2) προκύπτει για κάθε $x \epsilon R$
που είναι συνεχής και ικανοποιεί την δοσμένη

Γιώργο, νομίζω ότι ο Σπύρος εννοεί κάτι άλλο. Δε μας λέει ότι ισχύει $\displaystyle{f(x)+y\in [0,1],}$ για όλα τα $\displaystyle{x,y \in [0,1]}$ , αλλά ότι η συναρτησιακή εξίσωση ικανοποιείται για κάθε $\displaystyle{x,y\in [0,1]}$ , τα οποία είναι τέτοια, ώστε να ισχύει $\displaystyle{f(x)+y\in [0,1].}$
Ως εκ τούτου, η παραπάνω αντιμετώπιση, δεν είναι σωστή.

#4

Νομίζω ότι έχω μία απάντηση.

Καταρχάς, είναι φανερό, ότι η μόνη σταθερή συνάρτηση στο $\displaystyle{[0,1]}$ , η οποία ικανοποιεί το ζητούμενο, είναι η μηδενική.
Αναζητούμε άλλες.

Είναι απλή εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano, ότι η $\displaystyle{f}$ έχει τουλάχιστον ένα σταθερό σημείο $\displaystyle{x_0\in [0,1].}$

Θέτουμε στη συναρτησιακή $\displaystyle{x\to x_0, y\to 0}$ (αυτό προφανώς επιτρέπεται), οπότε προκύπτει

$\displaystyle{f(x_0)+f(0)=f\Big(f(x_0)\Big)}$ , οπότε είναι $\displaystyle{f(0)=0.}$

Τώρα, θέτουμε $\displaystyle{y\to 0}$ και έχουμε $\displaystyle{f(x)=f(f(x))}$ για κάθε $\displaystyle{x\in [0,1].}$
.....

Η αρχική μου απόπειρα ήταν εσφαλμένη, όπως μου υπέδειξε ο Θανάσης (socrates). Αφήνω τα παραπάνω, μήπως και βοηθήσουν.

#5

Έστω $\Delta=f([0,1])=[a,b].$

Είναι f(f(x))=f(x)+f(0)

οπότε

για κάθε $x \in \Delta.$

Για x:=b

έχουμε $f(b)=b+f(0)\leq b,$ δηλαδή f(0)=0

και

Για $x=b, \ y:=1-f(b)$ είναι $f(1-b)=f(1)-b\geq 0$ οπότε $b\leq f(1)\geqb,$ δηλαδή f(1)=b

και

Αν $1-b\leq b$ τότε $1-b \in \Delta$ οπότε $0=f(1-b)=1-b \implies b=1$ και τελικά f(x)=x

στο

Αν

τότε $f(2b)=f(b+b)=f(b+f(b))=f(b)+f(f(b))=2b\leq b$ οπότε b=0

και $f\equiv 0.$

Συναρτησιακή εξίσωση

Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση