Συναρτησιακή !!!

#1

Από τον Νίκο Ζανταρίδη

Να βρείτε τις συνεχείς συναρτήσεις $f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ για τις οποίες αληθεύει η συνεπαγωγή:

$a,b,c >0 \wedge abc=1 \Rightarrow f(a)+f(b)+f(c)=a+b+c+6033$

#2

Έστω

Τότε

για κάθε $a,b,c>0 \wedge abc=1.$

Είναι g(1)=0

και $\displaystyle{g(a)=-g\left(\frac{1}{a}\right),}$ οπότε $\displaystyle{g(a)+g(b)=-g(c)=g\left(\frac{1}{c}\right)=g(ab)}$ και λόγω συνέχειας $g(x)={\color{red}{k}}\ln x \implies f(x)=x+{\color{red}{k}}\ln x+2011,$ όπου

αυθαίρετος πραγματικός.

Edit: Διόρθωσα το παραπάνω. Ευχαριστώ τον nikoszan.

Συναρτησιακή !!!

Συναρτησιακή !!!

Re: Συναρτησιακή !!!

Μέλη σε σύνδεση