Συναρτησιακή με συνεχείς συναρτήσεις

#1

Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ ισχύει

2f(x+y)+f(2x-y)+f(2y-x)=9f(x)+9f(y)

AlexandrosG · #2

Θα μιμιθούμε την αντιμετώπιση της συναρτησιακής εξίσωσης του Cauchy.

Για $\displaystyle{x=0}$ είναι $\displaystyle{f(0)=0}$ και για $\displaystyle{y=0}$ παίρνουμε ότι η συνάρτηση είναι περιττή.

Για $\displaystyle{x=y}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(2x)=8f(x)}$ .

Έστω $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ .

Ισχυρισμός

$\displaystyle{f( \nu x)= \nu ^3f(x)}$ για κάθε $\displaystyle{\nu \in \mathbb{Z}}$ .

Απόδειξη

Για $\displaystyle{\nu =-1,0,1}$ ισχύει με προφανή τρόπο.

Έστω ότι ο ισχυρισμός ισχύει για όλα τα $\displaystyle{\kappa}$ με $\displaystyle{|\kappa|<2\nu}$ . Θα δείξουμε ότι ισχύει για $\displaystyle{\kappa=2\nu,2\nu+1}$ . Για το πρώτο:

$\displaystyle{f(2\nu x)=8f(\nu x)=8\nu ^3f(x)=(2\nu)^3f(x)}$

Για το δεύτερο θέτουμε στην συναρτησιακή $\displaystyle{x \to (\nu+1)x}$ και $\displaystyle{y=\nu x}$ .

$\displaystyle{2f((2\nu+1)x)+f((\nu+2)x)+f((\nu-1)x)=9f((\nu+1)x)+9f(\nu x)}$

Άρα χρησιμοποιώντας την επαγωγική υπόθεση

$\displaystyle{2f((2\nu+1)x)+(\nu+2)^3f(x)+(\nu-1)^3f(x)=9(\nu+1)^3f(x)+9 \nu ^3 f(x)}$

δηλαδή μετά τις πράξεις

$\displaystyle{f((2\nu+1)x)=(2\nu+1)^3f(x)}$ όπως θέλαμε.

Έστω τώρα $\displaystyle{\frac{p}{q}}$ ένας τυχαίος ρητός με $\displaystyle{p,q \in \mathbb{Z}, q \neq 0}$ .

Είναι

$\displaystyle{f \Big( \frac{p}{q} \Big) =p^3f \Big( \frac{1}{q}\Big) =p^3 \Big( \frac{1}{q} \Big) ^3 f(1)=f(1) \Big( \frac{p}{q} \Big) ^3}$

Επεισή το σύνολο των ρητών είναι πυκνό στο σύνολο των πραγματικών και η συνάρτηση είναι συνεχής παίρνουμε

$\displaystyle{f(x)=f(1)x^3}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ που ικανοποιεί την αρχική εξίσωση.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=307282

Συναρτησιακή με συνεχείς συναρτήσεις

Συναρτησιακή με συνεχείς συναρτήσεις

Re: Συναρτησιακή με συνεχείς συναρτήσεις

Re: Συναρτησιακή με συνεχείς συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση