Αν υπάρχει μοναδικό ξ στο Θ.Μ.Τ...;;;

#1

Έστω μία συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο και τέτοια ώστε για κάθε $\displaystyle{ a,b \in R }$ με $\displaystyle{ a < b }$ να υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{ \xi \in \left( {a,b} \right) }$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{ f'(\xi ) = \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} }$ .
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει σημεία καμπής.

Pla.pa.s · #2

Έχω μια ιδέα κάπως μακροσκελής (συνεπώς ίσως να υπάρχει πιο σύντομος δρόμος) και χρησιμοποιεί την απαγωγή σε άτοπο.
Υποθέτουμε ότι το (c,f(c))

είναι σημείο καμπής της $C_{f}$ και χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι η

είναι κοίλη σε κάποια περιοχή αριστερά του

και κυρτή δεξιά. (Από εδώ και πέρα όπου αναφέρονται τα $x,x_{1},x_{2},m,n$ θεωρουμε ότι κινούνται σε αυτές τις περιοχές.)
Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{l(x)= \frac{f(x)-f(c)}{x-c}}$ για $x \neq c$ και l(c)=f'(c)

.
Η l είναι προφανώς συνεχής και για $x \neq c$ είναι

$\displaystyle{l'(x)=\frac{f'(x)(x-c)-(f(x)-f(c))}{(x-c)^{2}}}$

Επίσης έχουμε ότι όταν x<c

, είναι $\displaystyle{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(\xi)<f'(x)}$ καθώς η

είναι γνησίως φθίνουσα και $\xi \in (x,c)$ , ενώ
όταν x>c

είναι πάλι $\displaystyle{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}<f'(x)}$ καθώς εδώ η

είναι γνησίως αύξουσα.
Από τα παραπάνω καταλαβαίνουμε, βρίσκοντας το πρόσημο της

, ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα αριστερά του

και γνησίως αύξουσα δεξιά του.
Έστω

αριστερά του c και

δεξιά του

.
Τότε λόγω της μονοτονίας της

, έχουμε

και

.
Θεωρούμε μια τιμή μικρότερη των l(m),l(n)

αλλά μεγαλύτερη του f'(c)

. Τότε λόγω της συνέχειας της

, από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, καταλήγουμε ότι υπάρχουν $x_{1}$ αριστερά του

και $x_{2}$ δεξιά του

, τέτοια ώστε η l να παίρνει αυτήν την τιμή σε αυτά τα σημεία, δηλαδή να ισχύει $l(x_{1})=l(x_{2})$ .
Γιατί έγινε όλη αυτή η φασαρία; Απλούστατα για να δείξουμε ότι πράγματι υπάρχει ευθεία που να περνάει από το σημείο καμπής και να τέμνει τη συνάρτηση σε δύο σημεία εκατέρωθεν του.
Πράγματι, εδώ την τέμνει στα $x_{1}$ και $x_{2}$ .
Συνεπώς μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει μοναδικό $\xi_{1} \in (x_{1},c)$ ώστε $f'(\xi_{1})=l(x_{1})$ και $\xi_{2} \in (c,x_{2})$ ώστε $f'(\xi_{2})=l(x_{2})$ .
Επειδή όμως τα $(x_{1},f(x_{1})),(x_{2},f(x_{2})),(c,f(c))$ ανήκουν στην ίδια ευθεία ισχύει ότι
$\displaystyle{\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}=l(x_{1})=l(x_{2})}$
Δηλαδή ότι εν τέλει υπάρχουν δύο $\xi$ (εδώ τα $\xi_{1},\xi_{2}$ ) τέτοια ώστε $\displaystyle{\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}=f'(\xi)}$ , το οποίο αντιβαίνει στην υπόθεση...

#3

Παρόμοια άσκηση 12Δ1 σελ173ΕΔΩ

Αν υπάρχει μοναδικό ξ στο Θ.Μ.Τ...;;;

Αν υπάρχει μοναδικό ξ στο Θ.Μ.Τ...;;;

Re: Αν υπάρχει μοναδικό ξ στο Θ.Μ.Τ...;;;

Re: Αν υπάρχει μοναδικό ξ στο Θ.Μ.Τ...;;;

Μέλη σε σύνδεση