Συνάρτηση με ισότητα και ανισότητα

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ x(f(x+1)-f(x)) = f(x), }$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$

και

$\displaystyle{ | f(x)-f(y) |\leq |x-y| , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

peter · #2

Από την υπόθεση έπεται ότι $f(x)/x\to f(1)$ καθώς $x\to 0$ . Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=\left \{ \begin{array}{ll}\frac{f(x)}{x}, x\neq 0\\ f(1), x=0\end{array}\right.$ , η οποία είναι συνεχής.

Επιπλέον, ισχύει από την υπόθεση ότι g(x)=g(x+1)

για κάθε $x\in \mathbb R$ . Έστω $m=\min g$ και $M=\max g$ . Υπάρχουν λοιπόν $x,y>0, \; x\neq y$ ώστε g(x)=m

και

. Τότε, για κάθε $n\in \mathbb N$ ισχύει g(x+n)=m

και

.

Από την άλλη μεριά έχουμε: $|m(x+n)-M(y+n)|=|f(x+n)-f(y+n)|\leq |x-y|$ ή $|m-M|\leq \frac{|x-y|+|mx-My|}{n}$ για όλα τα

.

Επομένως, η

σταθερή και οι ζητούμενες

είναι οι $f(x)=\lambda x$ με $|\lambda|\leq 1$ .

Συνάρτηση με ισότητα και ανισότητα

Συνάρτηση με ισότητα και ανισότητα

Re: Συνάρτηση με ισότητα και ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση