1-1 και επί!

#1

Θεωρούμε το σύνολο $\mathcal{F}$ των συνεχών συναρτήσεων $f: [0,1]\to [0,1]$ για τις οποίες f( 0) =0

και

καθώς και τη συνάρτηση $\mathcal{T}:\mathcal{F}\to (0,1)$ με $\displaystyle \mathcal{T}(f) =\int_0^1 f(x)dx,$ για κάθε $f \in \mathcal{F}$ .

Να δείξετε ότι η $\mathcal{T}$ είναι επί, αλλά όχι 1-1.

#2

socrates έγραψε:Θεωρούμε το σύνολο $\mathcal{F}$ των συνεχών συναρτήσεων $f: [0,1]\to [0,1]$ για τις οποίες και
καθώς και τη συνάρτηση $\mathcal{T}:\mathcal{F}\to (0,1)$ με $\displaystyle \mathcal{T}(f) =\int_0^1 f(x)dx,$ για κάθε $f \in \mathcal{F}$ .

Να δείξετε ότι η $\mathcal{T}$ είναι επί, αλλά όχι 1-1.

Για $0< a \le 1$ σταθερό, ορίζουμε την

ως $f(x) = 1 \, \alpha \nu \, a \le x \le 1$ και ευθεία από το (0,0)

μέχρι το

. Εύκολα βλέπουμε ότι το ολοκλήρωμα της

(=εμβαδόν κάτω από το γράφημά της) είναι $\frac{1}{2}a+ (1-a)= 1 - \frac {1}{2} a$ .
Οι τιμές αυτές είναι (για τα

που θεωρούμε) το σύνολο $\left [\frac{1}{2}, \, 1 \right)$ (*).

Εξετάζοντας τώρα $0\le a < 1$ και

με $f(x) =0 \, \alpha \nu \, 0\le x \le a$ και ευθεία από το (a,0)

μέχρι το

βλέπουμε ότι το ολοκλήρωμα είναι $\frac {1}{2}(1-a)$ . Οι τιμές αυτές είναι το σύνολο $\left (0, \frac {1}{2}\right ]$ . Μαζί με την (*) βλέπουμε ότι το σύνολο τιμών της $\mathcal {T}$ είναι (0,1)

, όπως θέλαμε (ότι είναι υποσύνολο του (0,1)

είναι άμεσο).

Το ότι η $\mathcal {T}$ δεν είναι 1-1

είναι άμεσο. Π.χ. η f(x)=x

έχει ολοκλήρωμα 1/2

, όπως και πολλές άλλες με f(0)=0, f(1)=1

(π.χ. κουνάμε λίγο την

αυτή σε περιοχή του 1/2

χωρίς να της αλλάξουμε το εμβαδόν.

Αυτά ολοκληρώνουν την απόδειξη.

Φιλικά,

Μιχάλης

AlexandrosG · #3

Μια παρόμοια αντιμετώπιση

Έστω $\displaystyle{0<a<1}$ .

Τότε $\displaystyle{T(x^{\frac{1}{a}-1})=\int_0^1 x^{\frac{1}{a}-1} dx =a}$ .

Άρα η

είναι επί.

Επίσης οι συναρτήσεις $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{4x^3-6x^2+3x}$ ανήκουν στην $\displaystyle{\mathcal{F}}$ αφού είναι συνεχείς και ικανοποιούν τους περιορισμούς.

Ακόμα ισχύει $\displaystyle{T(x)=T(4x^3-6x^2+3x)=\frac{1}{2}}$ .

Άρα η

δεν είναι 1-1.

1-1 και επί!

1-1 και επί!

Re: 1-1 και επί!

Re: 1-1 και επί!

Μέλη σε σύνδεση