Σχετικά με τον αριθμό του θ. μέσης τιμής

#1

Έστω $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με $f{''}(x) \ne 0,$ για κάθε $x \in \Bbb{R}$ και τέτοια ώστε:

για κάθε $x\in \Bbb{R}$ υπάρχει $c_x \in \Bbb{R}$ τέτοιο ώστε $f(x+1)- f(x) = f{'}(c_x)$ και $f{'}(x + 1)-f{'}(x) = f{''}(c_x).$

Να δείξετε ότι:
α) η αντιστοιχία $x \to c_x$ είναι μια συνάρτηση 1-1.
β) η

παραγωγίζεται άπειρες φορές και $f^{(n)}(x + 1)-f^{(n)}(x) = f^{(n+1)}(c_x),$ για κάθε

#2

το 1ο υπάρχει και στην εργασία μου Γεωμετρικές συνθήκες κυρτότητας στον ΕΚθετη στην ιστοαελίδα του Νίκου Μαυρογιάννη σχέσεις 66-69
ΓΙα τπ πρώτο
1) το $\displaystyle{c_x=c(x)}$ είναι συναρτηση διοτι για $\displaystyle{x_1=x_2\Rightarrow f'(c_1(x))=f'(c_2(x))\Rightarrow c_1(x)=c_2(x)}$ αφου $\displaystyle{f'}$ γνήσια μονότονη $\displaystyle{(f''\ne 0)}$
2)Αν πχ $\displaystyle{f }$ κυρτή τότε $\displaystyle{f(x+1)-f(x)}$ = γν αύξουσα άρα $\displaystyle{x_1<x_2\Rightarrow f'(c_1)<f'(c_2)\Rightarrow c_1<c_2,c_1=C(x_1),c_2=C(x_2)}$ άρα $\displaystyle{C}$ γν. αύξουσα και συνεπώς $\displaystyle{1-1}$

#3

Για το 2ο

1) H $\displaystyle{C}$ είναι ΕΠΙ του $\displaystyle{R}$ διότι $\displaystyle{x<C<x+1}$ και γν.μονότονη και συνεχής (απόδειξη στην εργασία σχέσεις 70-73)
Τότε $\displaystyle{f''(c)}$ παραγωγίσιμη $\displaystyle{\forall c\in R}$ κοκ... τελικά η f είναι απείρως παραγωγίσιμη
2)Επαγωγικά
για $\displaystyle{n=0}$ ισχύει
αν $\displaystyle{f^{(n)}(x+1)-f^{(n)}(x)=f^{n+1}(c(x)}$ τότε από ΘΜΤ έχουμε $\displaystyle{f^{(n+1)}(x+1)-f^{(n+1)}(x)=f^{n+2}(d(x))}$ άρα $\displaystyle{f^{n+2}(d(x))=f^{n+2}(c(x))}$ .. όμως για το ίδιο $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{C}$ είναι μοναδικό άρα $\displaystyle{d=C}$ όπως έπρεπε

Σχετικά με τον αριθμό του θ. μέσης τιμής

Σχετικά με τον αριθμό του θ. μέσης τιμής

Re: Σχετικά με τον αριθμό του θ. μέσης τιμής

Re: Σχετικά με τον αριθμό του θ. μέσης τιμής

Μέλη σε σύνδεση