Μία από το ο.ε.δ.

#1

Μία ωραία από το ό.έ.δ. (κατασκευή Νίκου Ζανταρίδη)

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{f(a)f(b)f(c)=2^{abc}}$ , για κάθε $a,b,c \in \mathbb{R}$ με a+b+c=0

peter · #2

Λόγω συνέχειας και υπόθεσης είναι f>0

. Παίρνοντας λογαρίθμους και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Euler βρίσκουμε ότι g(a)+g(b)+g(c)=a^3+b^3+c^3

, για κάθε a,b,c

με

, όπου $g(x)=\frac{3\log f(x)}{\log 2}$ . Τότε, για την h(x)=g(x)-x^3

έχουμε ότι για κάθε a,b,c

με

ισχύει

. Απ' αυτό έπεται εύκολα ότι η

ικανοποιεί την προσθετική του Cauchy κι επειδή είναι συνεχής θα είναι γραμμική: υπάρχει $\lambda\in \mathbb R$ ώστε $h(x)=\lambda x$ . Αντικαθιστούμε και βρίσκουμε τις

.

Μία από το ο.ε.δ.

Μία από το ο.ε.δ.

Re: Μία από το ο.ε.δ.

Μέλη σε σύνδεση