Ύπαρξη

#1

Έστω συνεχής συνάρτηση $f:[0,1] \to [0,+\infty)$ με την ιδιότητα $\displaystyle{\int_0^1sinf(x)dx>\frac {\pi}{4}}$

Να αποδείξετε ότι υπάρχει $a \in [0,1)$ ώστε a^2sinf(a)+sinf(a)-1=0

AlexandrosG · #2

Επειδή

αρκεί να βρούμε ρίζα της εξίσωσης

$\displaystyle{sinf(a)=\frac{1}{a^2+1}}$

Υποθέτουμε ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζα. Επειδή και τα δύο μέλη είναι συνεχείς συναρτήσεις θα έχουμε ότι είτε

$\displaystyle{sinf(x)>\frac{1}{x^2+1}}$ για κάθε $x \in [0,1)$ ή $\displaystyle{sinf(x)<\frac{1}{x^2+1}}$ για κάθε $x \in [0,1)$ .

Αν ίσχυε η πρώτη ανισότητα τότε για x=0

θα παίρναμε sinf(0)>1

, άτοπο. Άρα ισχύει η δεύτερη. Την ολοκληρώνουμε από

έως

και παίρνουμε ότι $\displaystyle{\int_0^1 sinf(x)dx \leq \frac{\pi}{4}}$ , το οποίο είναι άτοπο από την υπόθεση.

Άρα η εξίσωση έχει ρίζα όπως θέλαμε.

peter · #3

Υπάρχει $\alpha\in (0,1)$ ώστε $\displaystyle \int_0^\alpha \sin f> \pi/4$ . Έστω $g(x)=x^2\sin f(x)+\sin f(x)-1, \, x\in [0,\alpha]$ . H

είναι συνεχής, αν δε μηδενίζεται πουθενά στο $[0,\alpha]$ θα είναι g(x)<0

για κάθε $x\in [0,\alpha]$ , αφού $g(0)=\sin f(0)-1\leq 0$ . Άρα, για κάθε $x\in [0,\alpha]$ έχουμε ότι: $\sin f(x)<\frac{1}{1+x^2}$ .

Ολοκληρώνοντας τώρα στο $[0,\alpha]$ παίρνουμε: $\displaystyle \int_0^\alpha \sin f(u)\, du<\int_0^\alpha\frac{1}{1+u^2}\, du=\arctan \alpha<\frac{\pi}{4}$ κι έχουμε αντίφαση. Άρα, υπάρχει ρίζα της

στο $[0,\alpha]\subseteq [0,1)$ .

Ουπς, δεν είδα το post!

Ύπαρξη

Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Μέλη σε σύνδεση