Παραγωγίσιμη συνάρτηση

#1

Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ τέτοιες ώστε f'(x)f'(y)=f(x+y)-f(x-y) ,

για κάθε $x,y \in \Bbb{R}.$

#2

προφανως $\displaystyle{f}$ άπειρες φορές παραγωγίσιμη

παραγωγίζω ως προς χ και μετα ως προς y 2 φορές και καταληγω $\displaystyle{f'''(x)f'(y)=f'''(y)f'(x)}$

αν η $\displaystyle{f}$ δεν είναι σταθερή υπάρχει $\displaystyle{ y:f'(y)\ne 0}$ οπότε παίρνουμε $\displaystyle{f'''(x)k=f'(x),\forall x\in R}$

Από την αρχική για $\displaystyle{x=y=0\Rightarrow f'(0)=0}$

Ακόμη για $\displaystyle{x=0\Rightarrow f=}$ άρτια άρα $\displaystyle{f'=}$ περιττή άρα $\displaystyle{f'''=}$ περιττή $\displaystyle{\Rightarrow f'(0)=0}$ και
$\displaystyle{\Rightarrow f'''(0)=0}$

Από την αρχική παραγωγίζοντας ως προς y και για $\displaystyle{y=0}$ έχω $\displaystyle{f''(0)=2}$

Το $\displaystyle{k}$ ορίστηκε από την $\displaystyle{f'''(x)k=f'(x),\forall x\in R}$ αλλά μπορεί και από την $\displaystyle{kf''(x)=f(x),\forall x\in R}$ αφού $\displaystyle{f'(0)=f'''(0)=0}$ συνεπώς $\displaystyle{k=b/2,b=f(0)}$

1.Άρα $\displaystyle{f(x) = b cosh((\sqrt{2/b} x))}$ αν $\displaystyle{b>0}$ που υπολογίζεται αντικαθιστώντας στην αρχική που δίνει δεκτό οποιοδήποτε $\displaystyle{b>0}$
2. $\displaystyle{f(x) = -b cos((\sqrt{-2/b} x))}$ αν $\displaystyle{b<0}$ υπολογίζεται αντικαθιστώντας στην αρχική και δίνει $\displaystyle{b=0}$ αδύνατον
3. $\displaystyle{f(x)=0}$ αν $\displaystyle{b=0}$

#3

Μικρή παραλλαγή:

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x)f(y)=f(x+y)-f(x-y) ,

για κάθε $x,y \in \Bbb{R}.$

Λάμπρος Μπαλός · #4

socrates έγραψε:Μικρή παραλλαγή:

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ τέτοιες ώστε για κάθε $x,y \in \Bbb{R}.$

Έστω (1) η δοσμένη.

(1) $\overset{x=y=0} {\Rightarrow} f(0)=0$

(1) $\overset{x=\frac{x+y}{2} , y=\frac{x-y}{2}} {\Rightarrow} f(\frac{x+y}{2})f(\frac{x-y}{2})=f(x)-f(y)$ (2)

(2) $\overset{y=-x}{\Rightarrow} f(-x)=f(x)$

(1) $\overset{y=-x}{\Rightarrow} f(x)f(-x)=-f(2x) \Rightarrow f^{2}(x)=-f(2x)$

(1) $\overset{y=x}{\Rightarrow} f^{2}(x)=f(2x)$

Από τις δύο τελευταίες προκύπτει f(2x)=0

, άρα

που επαληθεύει.

#5

Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση