Σύστημα με αρκετό ενδιαφέρον !

#1

Ένα ενδιαφέρον σύστημα που συνάντησα τελευταία είναι το παρακάτω. Μπορούμε με κάποιο τρόπο να το κάνουμε αργότερα και θέμα , ώστε να μπορεί να διδαχθεί και στην τάξη.Για την ώρα το δίνω μια και έξω, για να έχει πιο πολύ ενδιαφέρον.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Να λυθεί το σύστημα :

$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {2^x + 3^x + x = \,y + 13} \\ {2^y + 3^y + y = \,z + 13} \\ {2^z + 3^z + z = \,x + 13} \\ \end{array}} \right.$

Μπάμπης

#2

Μπάμπη δεν ξέρω ίσως υπάρχει και πιό σύντομη προσέγγιση: Θεωρούμε την γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f\left( x\right) =2^{x}+3^{x}+x$ . Θα δείζουμε ότι οι x,y,z

είναι ίσοι. Αν έστω δύο είναι ίσοι εύκολα βγαίνουν και οι τρεις ίσοι. Επομένως αν δεν είναι και οι τρεις ίσοι θα είναι και οι τρεις άνισοι. Ας πούμε πως x<y<z

. Τότε

δηλαδή

. 'Άρα έχουμε το άτοπο συμπέρασμα ότι y <z <x

. Με τους τρεις αριθμούς να είναι ίσους έχουμε να λύσουμε την $2^{x}+3^{x}=2^{2}+3^{2}$ που λόγω της μονοτονίας της $2^{x}+3^{x}$ έχει μοναδική λύση x=2

. 'Αρα

Μαυρογιάννης

#3

nsmavrogiannis έγραψε:Μπάμπη δεν ξέρω ίσως υπάρχει και πιό σύντομη προσέγγιση: Θεωρούμε την γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f\left( x\right) =2^{x}+3^{x}+x$ . Θα δείζουμε ότι οι είναι ίσοι. Αν έστω δύο είναι ίσοι εύκολα βγαίνουν και οι τρεις ίσοι. Επομένως αν δεν είναι και οι τρεις ίσοι θα είναι και οι τρεις άνισοι. Ας πούμε πως . Τότε δηλαδή . 'Άρα έχουμε το άτοπο συμπέρασμα ότι . Με τους τρεις αριθμούς να είναι ίσους έχουμε να λύσουμε την $2^{x}+3^{x}=2^{2}+3^{2}$ που λόγω της μονοτονίας της $2^{x}+3^{x}$ έχει μοναδική λύση . 'Αρα
Μαυρογιάννης

Νίκο , είναι εξαιρετική η λύση σου και δεν γνωρίζω καμία πιο σύντομη από αυτή !
Όταν μίλησα πριν για θέμα με ερωτηματάκια, εννοούσα ακριβώς να δώσουμε τη συνάρτηση .... και να ζητήσουμε τη μονοτονία της.Αλλά έτσι προδίδουμε λίγο και τη λύση, αν και αυτό καθόλου δε μας πειράζει στο καθημερινό μας μάθημα !

Μπάμπης

hsiodos · #4

Καλησπέρα

Πολύ ωραία άσκηση όπως ακόμα πιο ωραία η λύση του Νίκου. Είναι από τις ασκήσεις που πρέπει να γίνονται στο μάθημα.
Μπορούμε μάλιστα να αποφύγουμε κάποιο βοηθητικό ερώτημα αφού αν δεχθούμε ότι δύο από τους χ , ψ ,z είναι διαφορετικοί μεταξύ τους δουλέυοντας (με τα γνωστά) ''κυκλικά'' καταλήγουμε σε άτοπο.
Αν για παράδειγμα δεχθούμε ότι x>y

τότε $2^x>2^y\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,3^x>3^y$ , τις προσθέτουμε όλες κατά μέλη και παίρνουμε $y+13>z+13\Rightarrow y>z$ (1)
Χρησιμοποιώντας την (1) όμοια καταλήγουμε $z+13>x+13\Rightarrow z>x$ που είναι άτοπο.

Γιώργος

#5

Ο καλός συνάδελφος Αντώνης Πολυκράτης είχε την ευγένεια να μου επισημάνει σε προσωπικό μήνυμα ότι ο αποκλεισμός της περίπτωσης x<y<z

χρειάζεται να συνοδευτεί και από τον αποκλεισμό και των άλλων περιπτώσεων. Πράγματι η περίπτωση x<y<z

μοιάζει να είναι βολική διότι η

δουλεύει κυκλικά με την ίδια φορά $x\rightarrow y+13,y\rightarrow z+13,z\rightarrow x+13$ . Λέω μοιάζει γιατί όποια και να υποθέσουμε ότι είναι η αρχική ανισότητα εν τέλει θα ανατραπεί. Πάντως μετά την παρατήρηση του Αντώνη ίσως η παρακάτω επιχειρηματολογία να είναι πιο κατάλληλη:
Ας πούμε πως είναι $\alpha <\beta <\gamma$ με τους $\alpha ,\beta ,\gamma$ να είναι κάποιοι από τους x, y, z

. Θα είναι $f\left( a\right) =a^{\prime }+13,\,\,f(\beta )=\beta ^{\prime }+13,\,\,f\left( \gamma \right) =\gamma ^{\prime }+13$ όπου πάλι οι $\alpha ^{\prime }, \, \beta ^{\prime },\,\,\gamma ^{\prime }$ είναι κάποιοι από τους x, y, z

αλλά $\alpha ^{\prime }\neq \alpha$ κ.τ.λ Θα είναι φυσικά $\alpha ^{\prime }<\beta ^{\prime }<\gamma ^{\prime }$ . Ενώ είχαμε ότι ο ελάχιστος από τους $\alpha ,\beta ,\gamma$ ήταν ο $\alpha$ τώρα εμφανίζεται να είναι κάποιος άλλος ο $\alpha ^{\prime }$ .
Θα συμφωνήσω με τον Μπάμπη και το Γιώργο ότι η άσκηση προσφέρεται για αξιοποίηση στο μάθημα. Ταιριασμένη με την ιδιοσυγκρασία του καθενός μας. Και της τάξης βέβαια.
Μαυρογιάννης

#6

ΣΧΟΛΙΟ

Βρήκα την πηγή του προβλήματος και βλέπω πως αναφέρει ότι :
'' ... αρκεί να παρατηρήσουμε ότι με τη συνάρτηση f(x) = 2^x + 3^x + x - 13

το σύστημα παίρνει τη μορφή :

y=f(x), z = f(y), x=f(z)

.

Eπομένως , αν (x,y,z)

είναι λύση του συστήματος, τότε πρέπει :

f(f(f(x))) = x

και αφού η f είναι γνησίως αύξουμε παίρνουμε(με απλή

απαγωγή σε άτοπο) ότι f(x) = x

.

Άρα , τελικά x=y=z = 2

''.

Μου φαίνεται και αυτή η προσέγγιση αρκετά ωραία, αν και λίγο πιο σύνθετη.

Μπάμπης

S.E.Louridas · #7

Μια απλή γενίκευση ,με κάθε επιφύλαξη.
Έστω
$a,b \in \mathbb{R}\mu \varepsilon a \ne b \wedge a,b > 1$ και
$m \in \mathbb{Z}_ + ^ * .$
Να μελετηθεί το σύστημα:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {a^x + b^x + x = y + a^m + b^m .....\left( 1 \right)} \\ {a^y + b^y + y = z + a^m + b^m .....\left( 2 \right)} \\ {a^z + b^z + z = x + a^m + b^m .....\left( 3 \right)} \\ \end{array} } \right..$
Διαπραγμάτευση:
Η (m, m, m) είναι μία προφανής λύση.
Αν $x < m\mathop \Rightarrow \ a^x < a^m \wedge b^x < b^m \Rightarrow a^x + b^x < a^m + b^m \Rightarrow y - x < 0 \Rightarrow y < x < m.$
Όμοια
$\left( 2 \right) \wedge y < m \Rightarrow z < y < x < m$ και
$\left( 3 \right) \wedge z < m \Rightarrow x < z < m,$ που οδηγεί σε άτοπο. Όμοια πάμε σε άτοπο αν x>m. Τελικά x=m που οδηγεί εύκολα στην μοναδική τελικά λύση x=y=z=m.
Παρατήρηση :
Αν
$a^x + b^x = a^m + b^m \Rightarrow a^m \left( {a^{x - m} - 1} \right) + b^m \left( {b^{x - m} - 1} \right) = 0\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {x < m \vee x > m} \right)} a = b = 1,\alpha \tau o\pi o.$

S.E.Louridas

Σύστημα με αρκετό ενδιαφέρον !

Σύστημα με αρκετό ενδιαφέρον !

Re: Σύστημα με αρκετό ενδιαφέρον !

Re: Σύστημα με αρκετό ενδιαφέρον !

Re: Σύστημα με αρκετό ενδιαφέρον !

Re: Σύστημα με αρκετό ενδιαφέρον !

Re: Σύστημα με αρκετό ενδιαφέρον !

Re: Σύστημα με αρκετό ενδιαφέρον !

Μέλη σε σύνδεση