Σύνολο τιμών

mathxl · #1

Ας είναι f μία συνεχής συνάρτηση με f: $\displaystyle{ \mathbb{R}\to\mathbb{R} }$ τέτοια ώστε $\displaystyle{ |f(x)-f(y)|\geq|x-y| }$ για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x,y. Να αποδείξετε ότι f(R)=R

Από Berkeley

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #2

Καλημέρα από τη καυτή Αθήνα και χαιρετίσματα στον Βασίλη και τη πατρίδα.

Ας δούμε μια λύση που στηρίζεται στο γνωστό σε μας (αλλά όχι και τόσο γνωστό στους μαθητές, ότι κάθε συνεχής και 1-1 συνάρτηση είναι γνήσια μονότονη.
Αν έμπαινε αυτό σαν πρώτο ερώτημα θα ήταν περισσότερο προσιτή στους μαθητές.

Η συνάρτηση f είναι 1-1, γιατί για $\displaystyle{\displaystyle x,y \in R}$ με f(x)=f(y) καταλήγουμε εφαρμόζοντας τη δοσμένη σχέση ότι $\displaystyle{\displaystyle 0 \ge \left| {x - y} \right| \ge 0}$ , άρα x=y.

Στη συνέχεια αφού είναι συνεχής και 1-1 είναι και γνήσια μονότονη.

Έστω ότι είναι γνήσια αύξουσα.

Για x>0 θα έχουμε f(x)>f(0), οπότε από τη δοσμένη σχέση έχουμε:
$\displaystyle{\displaystyle f(x) - f(0) \ge x \Rightarrow f(x) \ge x + f(0)}$ , οπότε περνώντας στα όρια (εμείς το ξέρουμε και περνάμε στα όρια, ο μαθητής μας όμως πως θα περάσει;) έχουμε τελικά ότι $\displaystyle{\displaystyle \mathop {\ell im}\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty }$ .
Για x<0 θα έχουμε f(x)<f(0), οπότε από τη δοσμένη σχέση έχουμε:
$\displaystyle{\displaystyle - f(x) + f(0) \ge - x \Rightarrow f(x) \le x + f(0)}$ , οπότε περνώντας στα όρια έχουμε τελικά ότι $\displaystyle{\displaystyle \mathop {\ell im}\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty }$ . Τελικά αφού η f συνεχής το σύνολο τιμών της είναι το R.

Αντίστοιχη απόδειξη και όταν φ γνήσια φθίνουσα.

Θωμάς

Υ.Γ 1
Ας δούμε μια άσκηση με την ίδια συναρτησιακή σχέση που έχει δοθεί σε κινέζικη μαθηματική ολυμπιάδα.

Άσκηση 1
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle{\displaystyle f:[0,1] \to [0,1]}$ , αν για κάθε x,y από το [0,1] ισχύει ότι: $\displaystyle{\displaystyle \left| {f(x) - f(y)} \right| \ge \left| {x - y} \right|}$

Υ.Γ 2
Επίσης ωραία άσκηση είναι και η εξής (με παρόμοια συναρτησιακή σχέση):

Άσκηση 2
Αν για τη συνάρτηση $\displaystyle{\displaystyle f:[0,1] \to [0,1]}$ ισχύει για κάθε x,y από το [0,1] ότι: $\displaystyle{\displaystyle \left| {f(x) - f(y)} \right| \ge \left| {{2^x} - {2^y}} \right|}$ , να βρεθεί το όριο $\displaystyle{\displaystyle \mathop {\ell im}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x)}}{x}}$

Καλή Κυριακή

Θωμάς

#3

Καλή σας μέρα
Την άσκηση αυτή την είχαμε συζητήσει και στο παλιό mathematica. Είχε γίνει μία αρκετά γόνιμη συζήτηση και είχα, αργότερα, γράψει κάποια πράγματα εν είδει μνημονίου. Η αρχική μου πρόθεση ήταν μαζί με άλλα να τα ανεβάσω στο νέο mathematica.
Είναι αυτό:

Mε αφορμή μια ασκηση στη συνεχεια.pdf: (131.17 KiB) Μεταφορτώθηκε 179 φορές

Μαυρογιάννης

#4

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε: Άσκηση 1
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:[0,1] \to [0,1]$ , αν για κάθε x,y από το [0,1] ισχύει ότι: $\left| {f(x) - f(y)} \right| \ge \left| {x - y} \right|,,(1)$
Θωμάς

καλημέρα σε όλους,καλημέρα Θωμά

$0\leq f(x)\leq 1,\foraal x\in [0,1]$ άρα

$0\leq f(1)\leq 1$

$0\leq f(0)\leq 1\rightarrow -1\leq -f(0)\leq 0$

αυτές τις δύο αν τις προσθέσω κατά μέλη παίρνω $-1\leq f(1)-f(o)\leq 1\rightarrow |f(1)-f(0)|\leq 1$

η (1) για χ=1,ψ=0 δίνει $|f(1)-f(0)|\geq 1$

άρα |f(1)-f(0)|=1

και επειδή $f:[0,1] \to [0,1]$ θα είναι

$f(0)=0 \land f(1)=1$ ή $f(0)=1 \land f(1)=0$

για την περίπτωση που $f(0)=0 \land f(1)=1$

$(1)\rightarrow |f(x)-f(0)|\geq|x-0|\rightarrow f(x)\geq x,\forall x\in[0,1]$

$(1)\rightarrow |f(x)-f(1)|\geq|x-1|\rightarrow f(x)\leq x,\forall x\in[0,1]$

άρα $f(x)=x ,\,\,x\in [0,1]$

για την περίπτωση που $f(0)=1 \land f(1)=0$

$(1)\rightarrow |f(x)-f(0)|\geq|x-0|\rightarrow f(x)\leq 1-x,\forall x\in[0,1]$

$(1)\rightarrow |f(x)-f(1)|\geq|x-1|\rightarrow f(x)\geq 1-x,\forall x\in[0,1]$

άρα $f(x)=1-x,\forall x\in[0,1]$

#5

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Άσκηση 2
Αν για τη συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,1] \to [0,1]}$ ισχύει για κάθε x,y από το [0,1] ότι: $\displaystyle{\left| {f(x) - f(y)} \right| \ge \left| {{2^x} - {2^y}} \right|},(\color{red}}1)$ , να βρεθεί το όριο $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x)}}{x}}$

ωπ...να μία αναπάντητη,από το 2009,με την ευκαιρία να στείλω πολλούς χαιρετισμούς στο Θωμά

η απάντηση είναι της ίδιας λογικής με την προηγούμενη

$\bullet$ αρχικά παρατηρούμε ότι η

είναι 1-1.

$\bullet$ για $x=1,y=0,(1)\rightarrow |f(1)-f(0)|\geq 1$

$\bullet$ $0\leq f(x)\leq 1,\forall x\in [0,1]$ άρα

$0\leq f(1)\leq 1$

$0\leq f(0)\leq 1\rightarrow -1\leq -f(0)\leq 0$

από αυτές τις δύο με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε: $-1\leq f(1)-f(o)\leq 1\rightarrow |f(1)-f(0)|\leq 1$

$\bullet$ άρα: |f(1)-f(0)|=1

και επειδή $f:[0,1] \to [0,1]$ θα είναι

$\bullet$ $\Big(f(0)=0 \land f(1)=1\Big)$ ή $\Big(f(0)=1 \land f(1)=0\Big)$

για την περίπτωση που $f(0)=0 \land f(1)=1$

$(1)\rightarrow |f(x)-f(0)|\geq|2^x-1|\rightarrow f(x)\geq 2^x-1,\forall x\in[0,1]$

$(1)\rightarrow |f(x)-f(1)|\geq|2^x-2|\rightarrow f(x)\leq 2^x-1,\forall x\in[0,1]$

άρα $f(x)=2^x-1 ,\,\,x\in [0,1]$

$\displaystyle{\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=ln2}$

για την περίπτωση που $f(0)=1 \land f(1)=0$

$(1)\rightarrow |f(x)-f(0)|\geq|2^x-1|\rightarrow f(x)\leq 2-2^x,\forall x\in[0,1]$

$(1)\rightarrow |f(x)-f(1)|\geq|2^x-2|\rightarrow f(x)\geq 2-2^x,\forall x\in[0,1]$

άρα $f(x)=2-2^x,\forall x\in[0,1]$

$\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{x}=+\infty}$

Σύνολο τιμών

Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Μέλη σε σύνδεση