Ελάχιστη τιμή παραμέτρου!

#1

Το παρακάτω είναι θέμα από τον διαγωνισμό Putnam. Δε θυμάμαι να το έχουμε ξαναδεί εδώ. Η λύση που έχω δει περιέχει σειρές και ως εκ τούτου ξεφεύγει αρκετά από τη σχολική ύλη.
Βρήκα όμως και μία ακόμη, σχολική, οπότε το τοποθετώ σε αυτόν τον φάκελο, καθώς θεωρώ ότι πρόκειται για αρκετά απαιτητικό θέμα.

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{a\in \mathbb{R},}$ ώστε να ισχύει

$\displaystyle{\frac{e^x+e^{-x}}{2}\leq e^{ax^2}}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

#2

Η ανισότητα γίνεται:

$ax^2\geq \ln{\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}$ που για $x\neq 0$ είναι

$a\geq \dfrac{\ln{\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}}{x^2} \ \ (1)$

Επίσης κοντά στο 0 είναι $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln{\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}}{x^2} \stackrel{\left(\frac{0}{0}\right)}{=}\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{2x\left(e^{2x}+1\right)}$

Όμως $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}\stackrel{\left(\frac{0}{0}\right)}{=}\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{2e^{2x}}$ άρα τελικά $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{2x\left(e^{2x}+1\right)}=\dfrac{1}{2}$ .

Οπότε λόγω της (1)

παίρνοντας όρια στο 0 έχουμε $a\geq \dfrac{1}{2}$ .

Θα δείξουμε ότι η ελάχιστη τιμή του

είναι το $\dfrac{1}{2}$ δηλαδή ότι $\dfrac{\ln{\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}}{x^2}\leq \dfrac{1}{2}$ για κάθε $x\in\mathbb{R}^{*}$ αφού για $a=\dfrac{1}{2}$ και x=0

η αρχική ισχύει.

Ορίζουμε τη συνάρτηση $f(x)=\ln{\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}-\dfrac{1}{2}x^2, \ \ x\in\mathbb{R}$ η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με

$f'(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}-x=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}-x=1-\dfrac{2}{e^{2x}+1}-x$ και

$f''(x)=\dfrac{4e^{2x}}{\left(e^{2x}+1\right)^2}-1=-\left(\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\right)^2\leq 0$ και η ισότητα ισχύει μόνο για x=0

.

Άρα η f'(x)

είναι γνησίως φθίνουσα και μηδενίζεται μόνο για x=0

οπότε είναι η μοναδική λύση της f'(x)=0

. Άρα για

είναι

και για

είναι

. Συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,0]$ και γνησίως φθίνουσα στο $[0,+\infty)$ , άρα παρουσιάζει ολικό μέγιστο το f(0)=0

.

Άρα $\ln{\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}-\dfrac{1}{2}x^2\leq 0$ συνεπώς $\dfrac{\ln{\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}}{x^2}\leq \dfrac{1}{2}$ για κάθε $x\in\mathbb{R}^{*}$

Αλέξανδρος

Ελάχιστη τιμή παραμέτρου!

Ελάχιστη τιμή παραμέτρου!

Re: Ελάχιστη τιμή παραμέτρου!

Μέλη σε σύνδεση