Συνάρτηση σε κλειστό διάστημα

#1

Έστω συνάρτηση $f:[a,b]\to \Bbb{R}$ με f(a)=f(b)=0

και

για κάθε $x\in [a,b].$
Να δείξετε ότι f(x)=0,

για κάθε $x\in [a,b].$

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=477236

mathxl · #2

Είναι
$\displaystyle{f(x) = f'(x) + f''(x) \Rightarrow 2{f^2}\left( x \right) = 2f\left( x \right)f'\left( x \right) + 2f\left( x \right)f''\left( x \right) \Rightarrow }$
$\displaystyle{\int\limits_a^b {2{f^2}\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {\left( {2f\left( x \right)f'\left( x \right) + 2f\left( x \right)f''\left( x \right)} \right)} dx = 0 + 2\int\limits_a^b {f\left( x \right)f''\left( x \right)} dx = }$
$\displaystyle{ = 2\left[ {f'\left( x \right)f\left( x \right)} \right]_a^b - 2\int\limits_a^b {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} dx = - 2\int\limits_a^b {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} dx \Rightarrow }$
$\displaystyle{\int\limits_a^b {\left( {{f^2}\left( x \right) + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} \right)dx} = 0}$
Η
$\displaystyle{g\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) + {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} \ge 0,x \in \left[ {a,b} \right]}$ είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\left[ {a,b} \right]}$ . Αν υπάρχει κάποιο

, ώστε

τότε θα ήταν $\displaystyle{\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} > 0 \Rightarrow \int\limits_a^b {\left( {{f^2}\left( x \right) + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} \right)dx} > 0}$ , άτοπο άρα $\displaystyle{g\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) + {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} = 0,\forall x \in \left[ {a,b} \right]}$ και προκύπτει εύκολα το ζητούμενο.

mathxl · #3

Μία άλλη λύση (αν θυμάμαι καλά την άσκηση αυτή την είχα συζητήσει με τον Νίκο Ζανταρίδη -για αυτό και η γρήγορη λύση...). Η αρχική μου ιδέα ήταν ότι η συνάρτηση μας ως συνεχής σε κλειστό διάστημα θα έχει μέγιστη τιμή

και ελάχιστη τιμή

και θα ισχύει $\displaystyle{m \le f\left( x \right) \le M,\forall x \in \left[ {a,b} \right]}$ .
Αν κάποιο από τα ακρότατα παρουσιάζεται σε εσωτερικό σημείο τότε από το θεώρημα Fermat

η τιμή της παραγώγου στην θέση αυτή θα είναι

. Αν ονομάσουμε την θέση αυτή $\displaystyle{{x_0}}$ από την αρχική σχέση έχουμε $\displaystyle{f\left( {{x_0}} \right) = 0 + f''\left( {{x_0}} \right) \Rightarrow m = f''\left( {{x_0}} \right) \vee M = f''\left( {{x_0}} \right)}$ .
Αν υποθέσουμε ότι το ελάχιστο δεν είναι

τότε θα είναι αρνητικό και θα είναι $\displaystyle{m = f''\left( {{x_0}} \right) < 0}$ άτοπο (δες κριτήριο της δεύτερης παραγώγου για τα ακρότατα) ομοίως αν το μέγιστο

δεν είναι

τότε θα είναι θετικό και θα ισχύει $\displaystyle{M = f''\left( {{x_0}} \right) > 0}$ άτοπο (δες κριτήριο της δεύτερης παραγώγου για τα ακρότατα) ....λαμβάνοντας υπόψη ότι αν τα ακρότατα παρουσιάζονται στα άκρα του διαστήματος έχουν τιμή

, τότε προκύπτει ότι σε κάθε περίπτωση $\displaystyle{m = M = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = 0}$ .

Συνάρτηση σε κλειστό διάστημα

Συνάρτηση σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση σε κλειστό διάστημα

Μέλη σε σύνδεση