Εύρεση συνεχούς συνάρτησης

mathxl · #1

Να προσδιορίσετε την συνεχή συνάρτηση $f\colon\ {[0,1]}\to\mathbb(0,+\infty)}$ για την οποία ισχύει $\int_{0}^{1}lnf(x)dx=ln\int_{0}^{1}f(x)dx$ .

dimkat · #2

Μήπως δεν είναι μοναδική η συνάρτηση που ψάχνουμε;
Όλες οι θετικές σταθερές συναρτήσεις επαληθεύουν τη δοσμένη σχέση.

mathxl · #3

Ναι αυτή είναι η απάντηση που είδα.

#4

Για κάθε

και κάθε

ισχύει ότι $\ln(y) \leqslant ty-1 - \ln{t}$ με ισότητα αν και μόνο αν y=1/t

. (*) Επομένως

$\displaystyle{ \int_0^1 \ln(f(x)) \, dx \leqslant \int_0^1 (tf(x) -1 - \ln{t}) \, dx= t\int_0^1 f(x) \, dx - 1 - \ln{t}.}$

Η ανισότητα ισχύει για κάθε t>0

και επιλέγοντας $\displaystyle{ t = \frac{1}{\int_0^1 f(x) \, dx}}$ παίρνουμε

$\displaystyle{ \int_0^1 \ln(f(x)) \, dx \leqslant \ln\left( \int_0^1 f(x) \, dx\right).}$

Επειδή η

είναι συνεχής η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν f(x) = 1/t

για κάθε $x \in [0,1]$ , δηλαδή αν και μόνο αν η

είναι σταθερή.

(*) Θέτοντας z = ty

, η ανισότητα είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{ \ln{z} \leqslant z-1 }$ η οποία είναι γνωστή.

[Η ίδια μέθοδος δουλεύει για οποιαδήποτε κυρτή/κοίλη συνάρτηση στην θέση της $\ln$ . Ουσιαστικά η πιο πάνω ανισότητα είναι η ανισότητα Jensen.]

#5

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=463730

mathxl · #6

Ναι από εκεί είναι η πηγή. Η΄λύση του Δημήτρη είναι πολύ όμορφη!!

Εύρεση συνεχούς συνάρτησης

Εύρεση συνεχούς συνάρτησης

Re: Εύρεση συνεχούς συνάρτησης

Re: Εύρεση συνεχούς συνάρτησης

Re: Εύρεση συνεχούς συνάρτησης

Re: Εύρεση συνεχούς συνάρτησης

Re: Εύρεση συνεχούς συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση