Κατέβα τάξεις (2)!

#1

Σε συνέχεια αυτού του θέματος, ας δούμε και το πρόβλημα 167 από το Crux Mathematicorum:

Δίνεται η ανισότητα Snellius-Huygens (πληροφορίες εδώ)

$\displaystyle{\frac{1}{3}(2\sin a+\tan a)>a>\frac{3\sin a}{2+\cos a},}$ για κάθε $\displaystyle{a\in \Big(0,\frac{\pi}{2}\Big).}$

Αποδείξτε την παραπάνω ανισότητα σε:

1) ένα τμήμα Γ' Λυκείου,
2) ένα τμήμα Γ' Γυμνασίου.

Tolaso J Kos · #2

Χμμ... μετά από

χρόνια το είχα θέσει και γω εδώ.

#3

matha έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 13, 2012 1:47 pm
Σε συνέχεια αυτού του θέματος, ας δούμε και το πρόβλημα 167 από το Crux Mathematicorum:

Δίνεται η ανισότητα Snellius-Huygens (πληροφορίες εδώ)

$\displaystyle{\frac{1}{3}(2\sin a+\tan a)>a>\frac{3\sin a}{2+\cos a},}$ για κάθε $\displaystyle{a\in \Big(0,\frac{\pi}{2}\Big).}$

Αποδείξτε την παραπάνω ανισότητα σε:

1) ένα τμήμα Γ' Λυκείου,
2) ένα τμήμα Γ' Γυμνασίου.

Για την αριστερή (για Τμήμα Γ' Λυκείου) εξετάζουμε την $f(x) = 2\sin x+ \tan x -3x$ . Είναι

$f'(x) = 2\cos x+ \dfrac {1}{cos ^2 x} - 3 =^{gia \,eukolia} 2c+ \dfrac {1}{c ^2 } - 3= c+c+ \dfrac {1}{c ^2 } - 3 \ge ^{AM-GM} 3\sqrt [3] {c\cdot c\cdot \dfrac {1}{c ^2 }}-3=0$ . (Μάλιστα η ανισότητα είναι γνήσια εκτός αν c=1

)

Άρα η

γνήσια αύξουσα, οπότε f(x) > f(0)=0

, όπως θέλαμε.

#4

Για την δεξιά (για Γ' Λυκείου) η $g(x) = x- \dfrac{3\sin x}{2+\cos x}$ ικανοποιεί

$g'(x) = 1- \dfrac {3 \cos x (2+\cos x) - 3\sin x (-\sin x) }{(2+\cos x)^2} = 1- \dfrac {6 \cos x +3(\cos ^2 + \sin ^2 x )}{(2+\cos x)^2}$

$= 1- \dfrac {6 \cos x +3 }{(2+\cos x)^2}= \dfrac {(\cos x -1)^2 }{(2+\cos x)^2} \ge 0$ (μάλιστα γνήσια ανισότητα εκτός αν $\cos x=1$ ).

Άρα

γνήσια αύξουσα, οπότε g(x) > g(0) = 0

, από όπου η ζητούμενη.

#5

αρκεί για το δεξιά μέλος της ανίσωσης

$\displaystyle{2(a-sina)+acosa-sina>0}$ ή $\displaystyle{2(a-sina)+a(cosa-sina>0}$ ή $\displaystyle{2(a-sina)+a(cos^2(a/2)+1)-sina>0}$ ή $\displaystyle{3(a-sina)+a(cos^2(a/2)>0}$

που προφανώς ισχύει Διότι $\displaystyle{a>sina}$

#6

Για Γ γυμνασίου δεν πρεπει να χρησιμοποιήσουμε παραγώγους

Με τον τριγωνομετρικο κύκλο μπορουμε να δείξουμε $\displaystyle{sinx<x<tanx }$ όταν $\displaystyle{0<x<\pi/2}$

για την ανισωση μας αρκεί να δειξουμε με ευκολες πραξεις

$\displaystyle{2(x-sinx)>tanx-x}$ ή $\displaystyle{x-sinx>1/2( \frac{(2sin(x/2)cos(x/2)}{cosx})-x}$ αλλα $\displaystyle{cos(x/2)>cosx}$ οποτε $\displaystyle{cos(x/2)/cosx>1}$

συνεπως αρκεί
$\displaystyle{x-sinx>1/2(2sin(x/2)-x)}$ ή $\displaystyle{x-sinx\ge x/2-sin(x/2)}$ που ισχυει αφού $\displaystyle{x>x/2 }$
και η $\displaystyle{x-sinx}$ προκυπτει γν αύξουσα με την βοηθεια της $\displaystyle{sinu-sinv<u-v}$

Κατέβα τάξεις (2)!

Κατέβα τάξεις (2)!

Re: Κατέβα τάξεις (2)!

Re: Κατέβα τάξεις (2)!

Re: Κατέβα τάξεις (2)!

Re: Κατέβα τάξεις (2)!

Re: Κατέβα τάξεις (2)!

Μέλη σε σύνδεση