Εύρεση συνάρτησης

mathxl · #1

Δεν ξέρω αν έχω κάνει σωστή μετάφραση...δίνω και τον σύνδεσμο...για τυχόν διόρθωση. Μια άσκηση αναπάντητη.
Βρείτε τις συναρτήσεις $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ που έχουν αρχική και ικανοποιούν την $f(arccotx)=(1+x^{2})f(x)$ για κάθε

πραγματικό.
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=479256

#2

Επαναφορά!

#3

Προτάθηκε κι εδώ: http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=48&t=2323&start=0

#4

Έστω $\displaystyle{F}$ μια αρχική της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{\mathbb{R}.}$ Η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{\frac{{f\left( {arc\cot x} \right)}}{{1 + {x^2}}} = f\left( x \right) \Leftrightarrow - F'\left( {arc\cot x} \right) \cdot {\left( {arc\cot x} \right)^\prime } = F'\left( x \right).}$

Άρα, υπάρχει σταθερά $\displaystyle{c}$ τέτοια, ώστε

$\displaystyle{F\left( {arc\cot x} \right) + F\left( x \right) = c}$ $\bf \color{red} \left( 1 \right)$

για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}.}$

Θέτοντας στην $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ όπου

το $\displaystyle{arc\cot x}$ , βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{F\left( {arc\cot \left( {arc\cot x} \right)} \right) + F\left( {arc\cot x} \right) = c}$ $\bf \color{red} \left( 2 \right)$

για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}.}$

Από τις σχέσεις $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ και $\bf \color{red} \left( 2 \right)$ προκύπτει ότι

$\displaystyle{F\left( {arc\cot \left( {arc\cot x} \right)} \right) = F\left( x \right)}$ $\bf \color{red} \left( 3 \right)$

για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}.}$

Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση

$\displaystyle{{\varphi \left( x \right) = arc\cot \left( {arc\cot x} \right)}}$ , με $\displaystyle{x \in \mathbb{R}.}$

Παρατηρούμε ότι για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}.}$ ισχύει

$\displaystyle{{\varphi '\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {1 + arc{{\cot }^2}x} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}} > 0}}$ ,

οπότε η $\varphi$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ , με σύνολο τιμών το

$\displaystyle{\varphi \left( \mathbb{R} \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \varphi \left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \varphi \left( x \right)} \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{u \to {0^ - }} arc\cot \left( u \right),\mathop {\lim }\limits_{u \to {0^ + }} arc\cot \left( u \right)} \right) = \left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)}.$

Από τη σχέση $\bf \color{red} \left( 3 \right)$ προκύπτει ότι

$\displaystyle{F\left( {\varphi \left( x \right)} \right) = F\left( x \right)}$ $\bf \color{red} \left( 4 \right)$

για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}.}$

Επομένως, αν θέσουμε

$\displaystyle{{\varphi _n} = \underbrace {\varphi \circ \varphi \circ \cdots \circ \varphi }_{n{\rm{ }}},}$

προκύπτει επαγωγικά ότι για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ και για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ ισχύει

$\displaystyle{F\left( {{\varphi _n}\left( x \right)} \right) = F\left( x \right)}$ $\bf \color{red} \left( 5 \right)$ .

Έστω $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ . Εφόσον η συνάρτηση $\displaystyle{\varphi }$ είναι γνησίως αύξουσα και φραγμένη, η ακολουθία $\displaystyle{\left( {{\varphi _n}\left( x \right)} \right)}$ έχει όριο πραγματικό αριθμό $\displaystyle{\xi }$ τέτοιον, ώστε $\displaystyle{\varphi \left( \xi \right) = \xi }$ (δηλαδή το $\displaystyle{\xi }$ είναι σταθερό σημείο της $\displaystyle{\varphi }$ ). Παίρνοντας τώρα όρια στη σχέση $\bf \color{red} \left( 5 \right)$ καθώς $\displaystyle{n \to \infty }$ , βρίσκουμε ότι $\displaystyle{F\left( x \right) = F\left( \xi \right)}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ . Επομένως, η συνάρτηση $\displaystyle{F}$ είναι σταθερή, οπότε τελικά έχουμε ότι

$\displaystyle{\boxed{f\left( x \right) = 0}}$

για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ .

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση