Από Ρουμανία

#1

Να βρείτε όλες τις διαφορίσιμες συναρτήσεις $\displaystyle{f,g:\Bbb \to \Bbb{R}}$ , για τις οποίες

$\displaystyle{x_1f(x_2)+x_2f'(x_1) \ge x_1g'(x_2)+x_2g(x_1),\ \forall x_1,x_2 \in \Bbb{R}}$

#2

s.kap έγραψε:Να βρείτε όλες τις διαφορίσιμες συναρτήσεις $\displaystyle{f,g:\Bbb \to \Bbb{R}}$ , για τις οποίες

$\displaystyle{xf(y)+yf'(x) \ge xg'(y)+yg(x),\ \forall x,y \in \Bbb{R}}$

Για

είναι $f(x)+f^{\prime}(x) \geq g(x)+g^{\prime}(x).$

Για y:=x:=-x<0

είναι $-f(-x)-f^{\prime}(-x)\geq -g(-x)-g^{\prime}(-x).$

Για y:=-x<0

είναι $f(-x)-f^{\prime}(x)\geq g^{\prime}(-x)-g(x).$

Για $y:=x, \ x:=-x<0$ είναι $-f(x)+f^{\prime}(-x)\geq -g^{\prime}(x)+g(-x).$

Αν προσθέσουμε τις παραπάνω, παίρνουμε μια ισότητα. Άρα το ίδιο ισχύει για καθεμιά.

Από την πρώτη έχουμε $f(x)=g(x)+c_1e^{-x}, \ x>0.$

Όμοια, $f(x)=g(x)+c_2e^{-x}, \ x<0.$

Λόγω συνέχειας, c_1=c_2=c

και $f(x)=g(x)+ce^{-x}, \ x \in \Bbb{R}.$

Από την αρχική, για $y\leftrightarrow x: \ yf(x)+xf'(y) \ge yg'(x)+xg(y).$

Προσθέτοντας την τελευταία και την αρχική, έχουμε μια ισότητα.

Επομένως,

$\displaystyle{xf(y)+yf'(x) = xg'(y)+yg(x) \implies y(f(x)-f^{\prime}(x))+x(f(y)-f^{\prime}(y))=c(ye^{-x}-xe^{-y}).}$

Θέτουμε y=1

στην τελευταία και από την γρ. διαφορική που προκύπτει έχουμε $\displaystyle{f(x)=-L(x+1)+c/2e^{-x}+De^x.}$

Από Ρουμανία

Από Ρουμανία

Re: Από Ρουμανία

Μέλη σε σύνδεση