Υπάρχει συνεχής;

#1

Υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ τέτοια ώστε $f(x-f(x))=\frac{x}{2}$ για κάθε $x\in \Bbb{R};$

nikoszan · #2

... $f\left( {x - f\left( x \right)} \right) = \frac{x}{2}$ $:\left( 1 \right)$
Εστω ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση

που να ικανοποιεί την $\left( 1 \right)$ .
Απο την $\left( 1 \right)$ θέτοντας όπου χ το ${x - f\left( x \right)}$ προκύπτει ότι $f\left( {\frac{x}{2} - f\left( x \right)} \right) = \frac{x}{2} - \frac{{f\left( x \right)}}{2}:\left( 2 \right)$ .
Απο την $\left( 2 \right)$ θέτοντας όπου χ το ${x - f\left( x \right)}$ προκύπτει ότι $f\left( { - \frac{{f\left( x \right)}}{2}} \right) = \frac{x}{4} - \frac{{f\left( x \right)}}{2}:\left( 3 \right)$ .Απο την $\left( 3 \right)$ θέτοντας όπου χ το ${x - f\left( x \right)}$ προκύπτει ότι
$f\left( { - \frac{x}{4}} \right) = - \frac{{f\left( x \right)}}{4}:\left( 4 \right)$
Απο την $\left( 1 \right)$ εύκολα προκύπτει ότι $f\left( \mathbb{R} \right) = \mathbb{R}$ και απο την $\left( 3 \right)$ οτι η

είναι

.
Επειδη η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ και 1 - 1

έπεται οτι η

είναι γνησιως μονότονη στο $\mathbb{R}$ .
Αν υποθέσουμε ότι η

είναι γνησιως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ ,τότε το πρώτο μέλος της $\left( 1 \right)$ είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση και το δεύτερο μέλος της είναι
γν.αύξουσα συνάρτηση,ΑΤΟΠΟ.Αρα η

είναι αύξουσα συνάρτηση.
Ετσι η

ως

εχει αντίστροφη συνάρτηση και το π.ο. της ${f^{ - 1}}$ είναι το $f\left( \mathbb{R} \right) = \mathbb{R}$ .Εχουμε $\left( 1 \right) \Rightarrow x - f\left( x \right) = {f^{ - 1}}\left( {\frac{x}{2}} \right)$ και θέτοντας όπου

το $\,2f\left( x \right)$ προκύπτει ότι $f\left( {2f\left( x \right)} \right) = 2f\left( x \right) - x:\left( 5 \right)$
Απο την $\left( 4 \right)$ για x = 0

έχουμε $f\left( 0 \right) = 0$ ,οπότε για κάθε x > 0

ισχύει $\,f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0$ .
Ετσι για κάθε x > 0

έχουμε $x > 0 \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\,\,\left( {f \nearrow } \right) \Rightarrow 2f\left( x \right) > 0 \Rightarrow f\left( {2f\left( x \right)} \right) > f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow$
$\Rightarrow 2f\left( x \right) - x > 0 \Rightarrow f\left( x \right) > \frac{x}{2} \Rightarrow f\left( {2f\left( x \right)} \right) > \frac{{2f\left( x \right)}}{2} \Rightarrow$
$\Rightarrow 2f\left( x \right) - x > f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) > x \Rightarrow f\left( {2f\left( x \right)} \right) > 2f\left( x \right) \Rightarrow$
$\Rightarrow 2f\left( x \right) - x > 2f\left( x \right) \Rightarrow x < 0$ ,ΑΤΟΠΟ.
Επομένως δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

.
Ν.Ζ.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36&t=29819

Υπάρχει συνεχής;

Υπάρχει συνεχής;

Re: Υπάρχει συνεχής;

Re: Υπάρχει συνεχής;

Μέλη σε σύνδεση