Αύξουσες!

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις αύξουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(x+1)=f(x)+\frac1{a^x}}$ για κάθε x>0,

όπου

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις αύξουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(x+1)=f(x)+\frac1{a^x}}$ για κάθε όπου

Έστω $\displaystyle{x_0>0}$ . Έχουμε

$\displaystyle{f(x_0+1)=f(x_0)+a^{-x_0}}$

$\displaystyle{f(x_0+2)=f(x_0+1)+a^{-x_0-1}}$

$\displaystyle{...}$

$\displaystyle{f(x_0+n)=f(x_0+n-1)+a^{-x_0-n+1}}$

Με πρόσθεση έχουμε $\displaystyle{f(x_0+n)=f(x_0)+a^{-x_0}\frac {1-a^{-n}}{1-a^{-1}}}$ (1)

Επειδή η συνάρτηση είναι αύξουσα το όριο στο άπειρο θα είναι ή ένας πραγματικός αριθμός $\displaystyle{k}$ ή άπειρο.

Αν συμβαίνει το δεύτερο, τότε από την (1) παίρνοντας όρια με το $\displaystyle{n}$ να τείνει στο άπειρο καταλήγουμε σε άτοπο.

Άρα ισχύει το πρώτο, οπότε με όρια στην (1) έχουμε

$\displaystyle{f(x_0)=a^{-x_0} \frac {a}{1-a}+k}$ , δηλαδή $\displaystyle{f(x)=a^{-x}\frac {a}{1-a}+k,x >0}$ , που επαληθεύει την αρχική.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36&t=19183

Αύξουσες!

Αύξουσες!

Re: Αύξουσες!

Re: Αύξουσες!

Μέλη σε σύνδεση