Να είναι συνεχής 1

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f: (0;\infty )\to (0;\infty)$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(\frac{1}{f(xy)})=f(x)f(y), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_>0.$

nikoszan · #2

... $f\left( {\frac{1}{{f\left( {xy} \right)}}} \right) = f\left( x \right)f\left( y \right):\left( 1 \right)$ .Απο την $\left( 1 \right)$ για $\,y = 1$ έχουμε ότι για κάθε x > 0

ισχύει
$f\left( {\frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right) = f\left( x \right)f\left( 1 \right):\left( 2 \right)$ .Απο την $\left( 2 \right)$ θέτοντας όπου

το

έχουμε $f\left( {\frac{1}{{f\left( {xy} \right)}}} \right) = f\left( {xy} \right)f\left( 1 \right):\left( 3 \right)$ .Απο $\left( 1 \right)$ και $\left( 3 \right)$ προκύπτει ότι για κάθε $x,y \in \left( {0, + \infty } \right)$ ισχύει $f\left( {xy} \right)f\left( 1 \right) = f\left( x \right)f\left( y \right) \Rightarrow \frac{{f\left( {xy} \right)}}{{f\left( 1 \right)}} = \frac{{f\left( x \right)}}{{f\left( 1 \right)}}\frac{{f\left( y \right)}}{{f\left( 1 \right)}} \Rightarrow g\left( {xy} \right) = g\left( x \right)g\left( y \right),$ όπου $g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{f\left( 1 \right)}} = \frac{{f\left( x \right)}}{a}\,\,$ και $\,\,\,a = f\left( 1 \right) > 0$ .Επειδή η

είναι συνεχής και θετική στο $\left( {0, + \infty } \right)$ και ισχυει $g\left( {xy} \right) = g\left( x \right)g\left( y \right),\forall x,y \in \left( {0, + \infty } \right)$ ,έπεται
ότι υπάρχει $b \in \mathbb{R}$ ,ωστε $g\left( x \right) = {x^b},\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)$ .Εχουμε $g\left( x \right) = {x^b} \Rightarrow \frac{{f\left( x \right)}}{a} = {x^b} \Rightarrow f\left( x \right) = a{x^b},x > 0$ .Πρέπει όμως για κάθε $x,y \in \left( {0, + \infty } \right)$ να ισχύει
$f\left( {\frac{1}{{f\left( {xy} \right)}}} \right) = f\left( x \right)f\left( y \right) \Leftrightarrow f\left( {\frac{1}{{a{{\left( {xy} \right)}^b}}}} \right) = \left( {a{x^b}} \right)\left( {a{y^b}} \right) \Leftrightarrow a{\left( {\frac{1}{{a{{\left( {xy} \right)}^b}}}} \right)^b} = {a^2}{x^b}{y^b}$ $\Leftrightarrow {a^{1 - b}}{x^{ - {b^2}}}{y^{ - {b^2}}} = {a^2}{x^b}{y^b}:\left( 4 \right)$ .
Για να ισχύει $\left( 4 \right)$ για κάθε $x,y \in \left( {0, + \infty } \right)$ πρέπει και αρκεί να είναι $\left( {b = 0,a = 1} \right)$ ή $\left( {b = - 1,a > 0} \right)$ .
Αρα είναι

$\left. 1 \right)f\left( x \right) = 1,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)$
ή
$\left. 2 \right)f\left( x \right) = \frac{a}{x},\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)$ ,όπου

οποιαδήποτε θετική πραγματική σταθερά.
Ν.Ζ.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36&t=79448

Να είναι συνεχής 1

Να είναι συνεχής 1

Re: Να είναι συνεχής 1

Re: Να είναι συνεχής 1

Μέλη σε σύνδεση