Δεν υπάρχει...

#1

Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει παράγουσα $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ της

, τέτοια ώστε $f \circ F=1_{\Bbb{R}}.$

http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=48&t=2358&start=0

#2

To αποσύρω γιατί είχα ένα κενό στην απόδειξη.

#3

socrates έγραψε:Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει παράγουσα $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ της , τέτοια ώστε $f \circ F=1_{\Bbb{R}}.$

http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=48&t=2358&start=0

Έχουμε $\displaystyle{f(F(x))=x,\ \forall x \in \Bbb{R}}$ (1)

Από την (1) εύκολα συμπεραίνουμε ότι η $\displaystyle{F}$ είναι 1-1, και επειδή η $\displaystyle{F}$ είναι συνεχής (παραγωγίσιμη) θα είναι γνησίως μονότονη.

Επειδή η $\displaystyle{F}$ είναι γνησίως μονότονη θα έχει όριο στο άπειρο.

Αν $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}F(x)=k \in \Bbb{R}}$ , τότε από την (1) παίρνοντας όρια στο $\displaystyle{+\infty}$ βρίσκουμε $\displaystyle{f(k)=+\infty}$ , άτοπο.

Συνεπώς $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} F(x)=\pm \infty}$ .

Ομοίως $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}F(x)=\pm \infty}$

Συνεπώς $\displaystyle{F\left(\Bbb{R}\right)=\Bbb{R}}$ και η $\displaystyle{F}$ είναι γνησίως μονότονη στο $\displaystyle{\Bbb{R}}$ .

Η (1) όμως γράφεται $\displaystyle{F'(F(x))=x,\ \forall x \in \Bbb{R}}$ , άρα η $\displaystyle{F'}$ , αλλάζει πρόσημο, άτοπο.

Δεν υπάρχει...

Δεν υπάρχει...

Re: Δεν υπάρχει...

Re: Δεν υπάρχει...

Μέλη σε σύνδεση