Μήτε 1-1, μήτε επί

#1

Έστω $a\in \Bbb{N}, \ a\geq 2$ και η συνάρτηση $f:\Bbb{R}\rightarrow (0,\infty)$ που ορίζεται ως:
$f(x)= \left\{\begin{matrix} a^{x}, \ x\in \Bbb{Q} \\ (a+1)^{x}, \ x\in \Bbb{R}\setminus \Bbb{Q}\end{matrix}\right.$
Δείξτε ότι η

δεν είναι ούτε 1-1 ούτε επί.

http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=44&t=580&start=0

#2

socrates έγραψε:Έστω $a\in \Bbb{N}, \ a\geq 2$ και η συνάρτηση $f:\Bbb{R}\rightarrow (0,\infty)$ που ορίζεται ως:
$f(x)= \left\{\begin{matrix} a^{x}, \ x\in \Bbb{Q} \\ (a+1)^{x}, \ x\in \Bbb{R}\setminus \Bbb{Q}\end{matrix}\right.$
Δείξτε ότι η δεν είναι ούτε 1-1 ούτε επί.

http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=44&t=580&start=0

Πρωτότυπη.

Για το 1-1: Η εξίσωση $\displaystyle{a^2=(a+1)^x}$ έχει μία και μόνον λύση την $\displaystyle{x_0=\frac {2lna}{ln(a+1)}>0}$ .

Αρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{x_0 \notin \Bbb{Q}}$ .

Έστω ότι $\displaystyle{x_0=\frac {m}{n}}$ , όπου $\displaystyle{m,n}$ θετικοί ακέραιοι, τότε η εξίσωση $\displaystyle{a^{2n}-(a+1)^m=0}$ έχει ακέραια ρίζα $\displaystyle{ \ge 2}$ ,

άτοπο, γιατί οι πιθανές ακέραιες ρίζες της παραπάνω πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές είναι διαιρέτες του σταθερού όρου,

δηλαδή του $\displaystyle{-1}$ .

Για το επί: Ο αριθμός $\displaystyle{a+1}$ δεν είναι τιμή της συνάρτησης. Αν ήταν θα υπήρχαν θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{m,n}$ ώστε

$\displaystyle{a^{\frac {m}{n}}=a+1}$ , άρα $\displaystyle{a^m=(a+1)^n}$ , άτοπο, γιατί η εξίσωση αυτή δεν μπορεί να έχει ακέραιες ρίζες $\displaystyle{\ge 2}$ .

Μήτε 1-1, μήτε επί

Μήτε 1-1, μήτε επί

Re: Μήτε 1-1, μήτε επί

Μέλη σε σύνδεση