Γεωμετρική πρόοδος

#1

Η ακολουθία $(x_n)_{n\ge 1}$ μη μηδενικών πραγματικών αριθμών είναι τέτοια, ώστε

$\displaystyle |x_{k+1}\cdot x_s-x_{s+1}\cdot x_k|\le\frac {|x_k\cdot x_s|}{|k-s|}\ ,\ \forall\ k,s\in\mathbb{N}^{\ast}\ ,\ k\ne s$

Να δείξετε ότι η $(x_n)_{n\ge 1}$ είναι γεωμετρική πρόοδος.

#2

Eφόσον οι όροι της ακολουθίας είναι μη μηδενικοί, η δοσμένη σχέση συνεπάγεται ότι

$\displaystyle{\left|\frac{x_{k+1}}{x_k}-\frac{x_{s+1}}{x_s} \right|\leq \frac{1}{\left|k-s \right|}}$

Αν ορίσουμε $\displaystyle{y_n=\frac{x_{n+1}}{x_n}}$ για $n\geq 1$ τότε

$\displaystyle{\left|y_k-y_s \right|\leq \frac{1}{\left|k-s \right|}}$ για κάθε $k,s\in\mathbb{N^*}, \ k\neq s.$

Έστω $s_0\in\mathbb{N^*}$ . Τότε

$\displaystyle{\left|y_k-y_{s_0} \right|\leq \frac{1}{\left|k-s_0 \right|}}$ για κάθε k>s_0.

Άρα $\lim_{k\rightarrow +\infty}{y_k}=y_{s_0}$ .

Δηλαδή η ακολουθία $\left(y_k \right)$ έχει όριο τον τυχαίο όρο της.

Από τη μοναδικότητα του ορίου, έπεται ότι η ακολουθία $\left(y_k \right)$ είναι σταθερή όποτε η ακολουθία $\left(x_k \right)$ είναι γεωμετρική πρόοδος.

Γεωμετρική πρόοδος

Γεωμετρική πρόοδος

Re: Γεωμετρική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση