Και λίγο αρνητική...

#1

Έστω $f:\Bbb{R}^+\to \Bbb{R}$ γνήσια αύξουσα συνάρτηση τέτοια ώστε $\displaystyle{ f\left(2xy\over x+y\right)\geq{f(x)+f(y)\over2} }$ για κάθε x,y>0.

Να δείξετε ότι υπάρχει x>0

με

#2

socrates έγραψε:Έστω $f:\Bbb{R}^+\to \Bbb{R}$ γνήσια αύξουσα συνάρτηση τέτοια ώστε $\displaystyle{ f\left(2xy\over x+y\right)\geq{f(x)+f(y)\over2} }$ για κάθε

Να δείξετε ότι υπάρχει με

Λόγω της μονοτονίας θα έχουμε $\displaystyle{\lim_{x \to 0^+}f(x)=a \in \Bbb{R}}$ ή $\displaystyle{\lim_{x \to 0^+}f(x)=-\infty}$

Αν αληθεύει το πρώτο, τότε

$\displaystyle{\lim_{x \to 0^+}f\left(2xy\over x+y\right)\geq\lim_{x \to 0^+}{f(x)+f(y)\over2}}$

$\displaystyle{\Rightarrow \lim_{x \to 0^+}f\left(\frac {2}{\frac {1}{x}+\frac {1}{y}}\right)\geq\lim_{x \to 0^+}{f(x)+f(y)\over2 }$

$\displaystyle{\Rightarrow a \ge f(y),\forall y>0}$ , άτοπο.

Άρα $\displaystyle{\lim_{x \to 0^+}f(x)=-\infty}$ , απ' όπου το ζητούμενο είναι προφανές.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36&t=58845

Και λίγο αρνητική...

Και λίγο αρνητική...

Re: Και λίγο αρνητική...

Re: Και λίγο αρνητική...

Μέλη σε σύνδεση