Να είναι συνεχής 7

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(f(x)+g(y))=x+y , \ \forall \ x,y \in \ \mathbb{R}.$

nikoszan · #2

$...f\left( {f\left( x \right) + g\left( y \right)} \right) = x + y:\left( 1 \right)$ .
Απο την $\left( 1 \right)$ για y = 0

έχουμε ότι για κάθε $x \in R$ ισχύει
$f\left( {f\left( x \right) + g\left( 0 \right)} \right) = x:\left( 2 \right)$ .Από την $\left( 2 \right)$
εύκολα προκύπτει ότι η

ειναι

και $f\,\left( R \right) = R\,$ .Απο την $\left( 1 \right)$ προκύπτει ότι για κάθε $x,y \in R$ ισχύει
$f\left( {f\left( x \right) + g\left( y \right)} \right) = f\left( {f\left( y \right) + g\left( x \right)} \right) = x + y\mathop \Rightarrow \limits^{f1 - 1}$ $f\left( x \right) + g\left( y \right) = f\left( y \right) + g\left( x \right)$ και για y = 0

προκύπτει ότι για κάθε $x \in R$ ισχύει $\,\,g\left( x \right) = f\left( x \right) + k,$ όπου $k = g\left( 0 \right) - f\left( 0 \right)$ .Ετσι από την $\left( 1 \right)$ προκύπτει ότι για κάθε $x,y \in R\,\,$ ισχύει $f\left( {f\left( x \right) + f\left( y \right) + k} \right) = x + y:\left( 3 \right)$ .Επειδή $f\,\left( R \right) = R\,$ ,υπάρχει $\,{y_0} \in R$ ,ώστε $f\left( {{y_0}} \right) = - k$ .Από την $\left( 3 \right)\,$ για $y = {y_0}$ ,έχουμε
$f\left( {f\left( x \right) + f\left( {{y_0}} \right) + k} \right) = x + {y_0} \Rightarrow \,$ $f\left( {f\left( x \right)} \right) = x + {y_0}\,\,\,$ $:\left( 4 \right)\,\,$ .Λόγω της $\,\left( 3 \right)$ ισχύει $f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right) + f\left( {f\left( y \right)} \right) + k} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 4 \right)}$
$f\left( {x + {y_0} + y + {y_0} + k} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right)$
$\Rightarrow f\left( {x + y + m} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right)$ $\,:\,\left( 5 \right)$ ,όπου $m = 2{y_0} + k$ .Για y = 0

έχουμε $f\left( {x + m} \right) = f\left( x \right) + f\left( 0 \right)$ ¨ $:\,\left( 6 \right)$ .
Απο την $:\,\left( 6 \right)$ θέτοντας όπου

το

έχουμε
$f\left( {x + y + m} \right) = f\left( {x + y} \right) + f\left( 0 \right)\,$
$\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 5 \right)} f\left( x \right) + f\left( y \right) = f\left( {x + y} \right) + f\left( 0 \right)$
$\Rightarrow f\left( {x + y} \right) - f\left( 0 \right) = f\left( x \right) - f\left( 0 \right) + f\left( y \right) - f\left( 0 \right)$
$\Rightarrow h\left( {x + y} \right) = h\left( x \right) + h\left( y \right)$ ,όπου $h\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( 0 \right)$ συνεχής.Επομένως η

έχει τύπο της μορφής
$\,\,h\left( x \right) = ax \Leftrightarrow f\left( x \right) - f\left( 0 \right) = ax \Leftrightarrow f\left( x \right) = ax + b$ ,όπου $b = f\left( 0 \right)$ και $\,g\left( x \right) = f\left( x \right) + k = ax + c\,\,$ ,όπου c = b + k

.Πρέπει όμως οι $f\left( x \right) = ax + b\,\,\,\,,g\left( x \right) = ax + c$ να ικανοποίουν την υπόθεση ,απο όπου εύκολα προκύπτει ότι είναι
$\left. 1 \right)f\left( x \right) = x + b,g\left( x \right) = x - 2b\,\,,\,b \in R$ ή $\left. 2 \right)\,\,f\left( x \right) = - x + b\,\,,\,\,g\left( x \right) = - x\,\,,\,\,\,b \in R\,$ .
Ν.Ζ.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=460560

Να είναι συνεχής 7

Να είναι συνεχής 7

Re: Να είναι συνεχής 7

Re: Να είναι συνεχής 7

Μέλη σε σύνδεση