Υπάρχουν;

#1

Υπάρχουν συναρτήσεις $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ και $g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε για κάθε $x\in \Bbb{R}$ να ισχύει $f(g(x))=[x], \ g(f(x))=\{ x\}.$

#2

socrates έγραψε:Υπάρχουν συναρτήσεις $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ και $g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε για κάθε $x\in \Bbb{R}$ να ισχύει $f(g(x))=[x], \ g(f(x))=\{ x\}.$

Δεν υπάρχουν τέτοιες συναρτήσεις:

Με πρόσθεση κατά μέλη των δοθέντων έχουμε

$\displaystyle{f(g(x))+g(f(x))=x,\ \forall x \in \Bbb{R}}$ (1)

Αν στην (1) θέσουμε όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{f(x)}$ έχουμε

$\displaystyle{f(g(f(x)))+g(f(f(x)))=f(x) \Rightarrow f\left(\{x\}\right)+g(f(f(x)))=f(x)\Rightarrow g(f(f(x)))=0,\ \forall x \in (0,1)}$

$\displaystyle{\Rightarrow \{f(x)\}=0 \Rightarrow f(x)=[f(x)],\ \forall x \in (0,1)}$ (2)

(1) $\displaystyle{\Rightarrow [x]+g(f(x))=x,\ \forall x \in \Bbb{R} \Rightarrow g(f(x))=x,\ \forall x \in (0,1)}$

και λόγω της (2) έχουμε $\displaystyle{g([f(x)])=x, \forall x \in (0,1)}$ (3). Αυτό όμως είναι άτοπο, γιατί

το σύνολο $\displaystyle{A=\{g([f(x)]),x \in (0,1)\}}$ είναι αριθμήσιμο*, ενώ από την (3) προκύπτει ότι είναι ισοδύναμο με το $\displaystyle{(0,1)}$

*Έχουμε $\displaystyle{B=\{[f(x)],x \in (0,1)\} \subset \Bbb{Z} \Rightarrow \left|B\right| \le \aleph_0}$

$\displaystyle{\Rightarrow \left|A\right|=\left|g(B)\right| \le \left|B\right|=\aleph_0}$

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=309982

Υπάρχουν;

Υπάρχουν;

Re: Υπάρχουν;

Re: Υπάρχουν;

Μέλη σε σύνδεση