Να βρεθεί συνάρτηση

#1

Να βρεθεί συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ για την οποία υπάρχει το $\lim_{x\to0}f(x)f(2x)}$ αλλά όχι το $\lim_{x\to0}f(x)}.$

#2

Ορίζουμε

και $\displaystyle{ f(x) = (-1)^{\lfloor \log_2{|x|} \rfloor}}$ για $x \neq 0$ . Παρατηρούμε ότι για $x \neq 0$ ισχύει ότι f(x)f(2x) = -1

επομένως το $\lim_{x \to 0} f(x)f(2x)$ υπάρχει. Το $\lim_{x \to 0} f(x)$ όμως δεν υπάρχει. Π.χ. η ακολουθία $f(1),f(1/4),f(1/16),\ldots$ τείνει στο

ενώ η $f(1/2),f(1/8),\ldots$ στο

.

#3

Υπάρχει τέτοια συνεχής;

#4

socrates έγραψε:Υπάρχει τέτοια συνεχής;

Μα τότε το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to 0} f(x)}$ υπάρχει και ισούται με f(0)

. Υπάρχει όμως τέτοια συνάρτηση που είναι συνεχής παντού εκτός από το

.

#5

#6