Να είναι συνεχής 9

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x)f(y)-f(x+y)=\sin{x}\sin{y}\;\forall x,y\in\mathbb{R}. }$

Edit από Γενικούς Συντονιστές

nikoszan · #2

... $\displaystyle{f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right)f\left( y \right) - \sin x\sin y:\left( 1 \right)}$ .
Από την $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ για $\displaystyle{x = y = 0}$ έχουμε $\displaystyle{f\left( 0 \right) = {f^2}\left( 0 \right) \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = 0 \vee f\left( 0 \right) = 1}$ .
Αν $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 0}$ τότε θα έχουμε $\displaystyle{f\left( x \right) = f\left( {x + 0} \right) = f\left( x \right)f\left( 0 \right) - \sin x\sin 0 = f\left( x \right).0 - 0 = 0}$ η οποία όμως δεν ικανοποιεί την $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ ,οπότε η περίπτωση αυτή απορρίπτεται.
Ετσι πρέπει να είναι $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 1}$ .Από την $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ για $\displaystyle{y = - x}$ έχουμε $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( { - x} \right) = 1 - {\sin ^2}x = {\cos ^2}x:\left( 2 \right)}$
Από την $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ θέτοντας όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{{x + y}}$ και όπου $\displaystyle{y}$ το $\displaystyle{ - y}$ έχουμε ότι για κάθε $\displaystyle{x,y \in R}$ ισχύει
$\displaystyle{f\left( {x + y - y} \right) = f\left( {x + y} \right)f\left( { - y} \right) - \sin \left( {x + y} \right)\sin \left( { - y} \right) \Rightarrow }$ $\displaystyle{f\left( x \right) = f\left( {x + y} \right)f\left( { - y} \right) + \sin \left( {x + y} \right)\sin \left( y \right) \Rightarrow }$
$\displaystyle{ \Rightarrow f\left( x \right)f\left( y \right) = f\left( {x + y} \right)f\left( y \right)f\left( { - y} \right) + \sin \left( {x + y} \right)\sin \left( y \right)f\left( y \right) \Rightarrow }$
$\displaystyle{\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} f\left( {x + y} \right) + \sin x\sin y = f\left( {x + y} \right){\cos ^2}y + \sin \left( {x + y} \right)\sin \left( y \right)f\left( y \right)}$
$\displaystyle{ \Rightarrow f\left( {x + y} \right){\sin ^2}y + \sin x\sin y = \sin \left( {x + y} \right)\sin \left( y \right)f\left( y \right)}$ και για $\displaystyle{\,\,\,\,y = \frac{\pi }{2}}$ έχουμε $\displaystyle{f\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right){\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + \sin x\sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right)f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow }$
$\displaystyle{ \Rightarrow f\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) + \sin x = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\cos x}$ $\displaystyle{ \Rightarrow f\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = a\cos x - \sin x}$ $\displaystyle{ \Rightarrow f\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = a\cos x - \sin x}$ ,όπου $\displaystyle{a = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}$ .Εχουμε $\displaystyle{f\left( x \right) = f\left( {x - \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2}} \right) = a\cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) - \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = a\sin x + \cos x,\forall x \in R}$ .Εύκολα βρίσκουμε ότι για να ικανοποιεί η $\displaystyle{f\left( x \right) = a\sin x + \cos x,x \in R}$ την $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ πρέπει και αρκεί να είναι $\displaystyle{a = 0}$ .Αρα είναι
$\displaystyle{f\left( x \right) = \cos x,x \in R}$ .
(Δεν χρειάστηκε η συνέχεια της $\displaystyle{f}$ )
Ν.Ζ.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=139790
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 37&t=15686

Να είναι συνεχής 9

Να είναι συνεχής 9

Re: Να είναι συνεχής 9

Re: Να είναι συνεχής 9

Μέλη σε σύνδεση