Υπαρξιακό - Δύσκολο

Συντονιστής: emouroukos

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Υπαρξιακό - Δύσκολο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Ιαν 22, 2009 7:27 pm

Το παρακάτω πρόβλημα έχει ... τις δυσκολίες του. Δεν είναι για κάθε μέρα, ούτε για μέσους μαθητές.Είναι μια λογική συνέχεια του θεωρήματος Flett,που σας υποσχέθηκα ότι θα στείλω για εμπλουτισμού των ''σκληρών '' θεωρημάτων της ανάλυσης.
Το βάζω ως συνημένο σε word για να προσθέσουμε και τις λύσεις.

Μπάμπης
Συνημμένα
2009-1,22 γενίκευση Flett.doc
(26 KiB) Μεταφορτώθηκε 604 φορές


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6738
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Υπαρξιακό - Δύσκολο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από mathxl » Πέμ Ιαν 22, 2009 11:12 pm

Μπάμπη
κάτι δεν μου αρέσει στην λύση, γιατί βγάζω ότι c ανήκει (a,b] :( :!: :?:
Ζαλίστηκα.......
Συνημμένα
2009-1,22 γενίκευση Flett.doc
(84.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 274 φορές


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2054
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Υπαρξιακό - Δύσκολο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από R BORIS » Παρ Ιαν 23, 2009 7:54 am

σίγουρα όχι "σχολικό'
Κάπου χρησιμοποιώ και Darboux
Αν παρ΄ όλα αυτά θελήσει κάποιος να την παρουσιάσει στο λύκειο ή δίνει την συνεχεια της g΄ή αντί Darboux ρίχει μια ματιά στο 1ο συνημμένο
Η απόδειξη μου (forum55 συνημμένο) τονίζει το θεωρημα ενδιαμέσων τιμών σαν προεόρτιο του Rolle
Συνημμένα
forum 55.doc
(73 KiB) Μεταφορτώθηκε 224 φορές
4 Eme Darboux.doc
(251 KiB) Μεταφορτώθηκε 272 φορές
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Πέμ Ιούλ 16, 2009 2:09 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2054
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Υπαρξιακό - Δύσκολο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από R BORIS » Παρ Ιαν 23, 2009 9:35 pm

Το Θ Flett έχει μια εντυπωσιακή γεωμετρική ερμηνεία
Ζητείται να δειχθεί οτι υπαρχει χορδή ΑΒ η οποία στο ενα άκρο της Β είναι και εφαπτομένη στην Cf οταν αυτή έχει δυο // εφαπτόμενες
Το Θ Flett έχει μια εντυπωσιακή γεωμετρική ερμηνεία
Ζητείται να δειχθεί οτι υπαρχει χορδή ΑΒ η οποία στο ενα άκρο της Β είναι και εφαπτομένη στην Cf οταν αυτή έχει δυο // εφαπτόμενες
Clipboard01.png
Clipboard01.png (2.06 KiB) Προβλήθηκε 1913 φορές

Στο συνημμένο 1 πρόταση 1β σελίδα 3 δείχνουμε ότι αν υπάρχουν 2 // εφαπτόμενες τότε στην Cf υπάρχουν 3 συνευθειακά σημεία
Clipboard02.png
Clipboard02.png (8.65 KiB) Προβλήθηκε 1915 φορές

Στο συνημμένο 2 πρόταση 6 δείχνουμε ότι αν υπάρχει χορδή της Cf όπως η ΜΝ που διέρχεται από το Ο τότε υπαρχει και εφαπτομένη ΟΚ που διέρχεται από το Ο που είναι και το ζητούμενο
Clipboard03.png
Clipboard03.png (8.16 KiB) Προβλήθηκε 1914 φορές
Συνημμένα
1 A efaptomeni.doc
(957 KiB) Μεταφορτώθηκε 222 φορές
5 Θ Νέες κυρτες.doc
(731 KiB) Μεταφορτώθηκε 450 φορές


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6745
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Υπαρξιακό - Δύσκολο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από chris_gatos » Παρ Ιαν 23, 2009 9:40 pm

Ροδόλφε ευχαριστούμε πολύ!


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6738
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Υπαρξιακό - Δύσκολο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από mathxl » Σάβ Ιαν 24, 2009 12:31 am

Ροδόλφε , εξαιρετική δουλειά!!!
Ευχαριστούμε


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6738
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Υπαρξιακό - Δύσκολο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από mathxl » Κυρ Ιούλ 26, 2009 9:38 pm

Αν αλλάξουμε λίγο την εκφώνηση και την ενισχύσουμε με συνεχείς παραγώγους τότε μία άλλη λύση είναι η εξής:
Υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει x που ανήκει στο (α,β) ώστε να ισχύει [tex]\displaystyle \frac{{f^{\prime}\left( x \right)}}{{g^{\prime}\left( x \right)}} - \frac{{f\left( x \right) - f\left( \alpha  \right)}}{{g\left( x \right) - g\left( \alpha  \right)}} = 0[/tex]

Συνεπώς η [tex]\displaystyle \frac{{f^{\prime}\left( x \right)}}{{g^{\prime}\left( x \right)}} - \frac{{f\left( x \right) - f\left( \alpha  \right)}}{{g\left( x \right) - g\left( \alpha  \right)}}[/tex] δεν μηδενίζει και ως συνεχής θα διατηρεί πρόσημο. Ας είναι χ.β.γ. θετική. Λόγω συνέχειας η τιμή στο β θα είναι θετική ή μηδέν, άρα
[tex]\displaystyle \frac{{f{\prime}\left( \beta  \right)}}{{g^{\prime}\left( \beta  \right)}} - \frac{{f\left( \beta  \right) - f\left( \alpha  \right)}}{{g\left( \beta  \right) - g\left( \alpha  \right)}} \ge 0[/tex] (1)

Τότε η [tex]\displaystyle h\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
   {\frac{{f\left( x \right) - f\left( \alpha  \right)}}{{g\left( x \right) - g\left( \alpha  \right)}},\alpha  < x \le \beta }  \\
   {\frac{{f^{\prime}\left( \beta  \right)}}{{g^{\prime}\left( \beta  \right)}},x = \alpha }  \\
\end{array}} \right.[/tex] είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] ως συνεχής σε αυτό, αφού έχει παράγωγο ίση με [tex]\displaystyle h^{\prime}\left( x \right) = \frac{{g^{\prime}\left( x \right)}}{{g\left( x \right) - g\left( \alpha  \right)}} \cdot \left[ {\frac{{f^{\prime}\left( x \right)}}{{g^{\prime}\left( x \right)}} - \frac{{f\left( x \right) - f\left( \alpha  \right)}}{{g\left( x \right) - g\left( \alpha  \right)}}} \right] > 0,\forall x \in \left( {\alpha ,\beta } \right)[/tex] Δες και εδώ viewtopic.php?f=53&t=2284

Είναι α<β άρα h(α) < h(β) οπότε \displaystyle [tex]\displaystyle{\frac{{f\prime \left( \beta  \right)}}{{{g^\prime }\left( \beta  \right)}} - \frac{{f\left( \beta  \right) - f\left( \alpha  \right)}}{{g\left( \beta  \right) - g\left( \alpha  \right)}}{\rm{  < 0}}}[/tex] άτοπο από (1)


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης