Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμου
Συντονιστής: emouroukos
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμου
Με αφορμή το γνωστό Β3 των πανελλαδικών και την σχετική συζήτηση (εδώ), επανέρχομαι:
αν με τότε -- σωστό ή λάθος;
Γιώργος Μπαλόγλου
αν με τότε -- σωστό ή λάθος;
Γιώργος Μπαλόγλου
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμο
ΣΩΣΤΟ τελικά ... χάρις σε μία έξοχη προσέγγιση του Αλέξανδρου Συγκελάκη (cretanman) πριν δύο περίπου εβδομάδες Ως τότε είχα πλησιάσει ελάχιστα περισσότερο απ' ότι τον περασμένο Ιούνιο, αντί -- οι λεπτομέρειες στο συνημμένο (που παρουσίασα στην Μαθηματική Εβδομάδα πριν 16 περίπου ώρες).
Όσον αφορά την απόδειξη της εικασίας από τον Αλέξανδρο, αυτός θα επιλέξει που και πως και πότε θα παρουσιάσει την δουλειά του. Εγώ απλώς θα πω εδώ ότι η απόδειξη του είναι, αναμενόμενα, πιο σύνθετη από την δική μου, με διαφορετική τεχνική και διαφορετική 'αφετηρία', και χρησιμοποιεί παραγώγιση ... παραμένοντας πάντως προσιτή σε μαθητές. (Προσαρμόζοντας την τεχνική του Αλέξανδρου στην δική μου αφετηρία καταλήγω στο ίδιο αποτέλεσμα που είχα και πριν, -- δεν ξέρω αν ήμουν τυχερός που έφτασα σε ένα τόσο καλό φράγμα τόσο εύκολα ... ή άτυχος που έφτασα τόσο κοντά στο χωρίς να το πετύχω )
Γιώργος Μπαλόγλου
Όσον αφορά την απόδειξη της εικασίας από τον Αλέξανδρο, αυτός θα επιλέξει που και πως και πότε θα παρουσιάσει την δουλειά του. Εγώ απλώς θα πω εδώ ότι η απόδειξη του είναι, αναμενόμενα, πιο σύνθετη από την δική μου, με διαφορετική τεχνική και διαφορετική 'αφετηρία', και χρησιμοποιεί παραγώγιση ... παραμένοντας πάντως προσιτή σε μαθητές. (Προσαρμόζοντας την τεχνική του Αλέξανδρου στην δική μου αφετηρία καταλήγω στο ίδιο αποτέλεσμα που είχα και πριν, -- δεν ξέρω αν ήμουν τυχερός που έφτασα σε ένα τόσο καλό φράγμα τόσο εύκολα ... ή άτυχος που έφτασα τόσο κοντά στο χωρίς να το πετύχω )
Γιώργος Μπαλόγλου
- Συνημμένα
-
- Β3.pdf
- (395.43 KiB) Μεταφορτώθηκε 158 φορές
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμο
Η απόδειξη του Αλέξανδρου παρουσιάστηκε από τον ίδιο στην 7η Μαθηματική Εβδομάδα (18-22 Μαρτίου 2015) και δημοσιεύτηκε στα Πρακτικά, σελ. 671-674. Υπάρχει πάντως τώρα απλούστερη απόδειξη, όχι δική μου, ούτε του Αλέξανδρου -- αν και παίξαμε και οι δύο κάποιο ρόλο στην γέννηση της -- που σας ενθαρρύνω να αναζητήσετε! (Αν δεν την βρει κανείς θα την ανακοινώσω εδώ στο τέλος του καλοκαιριού.)
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμο
Η δημοσίευση του Γιάννη Θωμαΐδη εδώ ... με έκανε να θυμηθώ τα παραπάνω: ας συμφωνήσουμε ότι "τέλος καλοκαιριού" = "πρώτες νιφάδες χιονιού"gbaloglou έγραψε:Η απόδειξη του Αλέξανδρου παρουσιάστηκε από τον ίδιο στην 7η Μαθηματική Εβδομάδα (18-22 Μαρτίου 2015) και δημοσιεύτηκε στα Πρακτικά, σελ. 671-674. Υπάρχει πάντως τώρα απλούστερη απόδειξη, όχι δική μου, ούτε του Αλέξανδρου -- αν και παίξαμε και οι δύο κάποιο ρόλο στην γέννηση της -- που σας ενθαρρύνω να αναζητήσετε! (Αν δεν την βρει κανείς θα την ανακοινώσω εδώ στο τέλος του καλοκαιριού.)
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμου
Το θέμα μας (βελτιστοποίηση ερωτήματος Β3 πανελλαδικών 2013) είναι ειδική περίπτωση, για , , , , του παρακάτω θεωρήματος (που, όπως έγραψα παραπάνω, προκύπτει ύστερα από πολύ σημαντική εκτός παρέμβαση):
Αν είναι πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές που ικανοποιούν, για , την , όπου τυχών μιγαδικός με , τότε για κάθε ρίζα του πολυωνύμου ισχύει η ανισότητα .
Απόδειξη (δια της εις άτοπον απαγωγής): αν με τότε, θέτοντας , προκύπτει η με .
Θέτοντας και παρατηρούμε ότι
(I)
(ΙΙ)
Από τις (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει άμεσα η , άτοπο.
Αν είναι πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές που ικανοποιούν, για , την , όπου τυχών μιγαδικός με , τότε για κάθε ρίζα του πολυωνύμου ισχύει η ανισότητα .
Απόδειξη (δια της εις άτοπον απαγωγής): αν με τότε, θέτοντας , προκύπτει η με .
Θέτοντας και παρατηρούμε ότι
(I)
(ΙΙ)
Από τις (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει άμεσα η , άτοπο.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμου
Παραθέτω για τυπικούς λόγους και την απόδειξη του θέματος Β3, για το βέλτιστο άνω φράγμα, ακολουθώντας την παραπάνω μέθοδο, αποδεικνύω δηλαδή ότι αν είναι ρίζα του μιγαδικού πολυωνύμου , όπου , τότε .
Απόδειξη (δια της εις άτοπον απαγωγής): αν ο είναι ρίζα του με , τότε ο ικανοποιεί την και βεβαίως την , οπότε, θέτοντας και προκύπτουν οι
(Ι)
(II)
Από τις (Ι) και (ΙΙ) λαμβάνουμε, χάρις και στην ,
άτοπο. Ισχύει επομένως η .
Κύρια ιδέα στα παραπάνω, και όχι δική μου, η αντιστροφή της μεταβλητής ... και βέβαια η χρήση του βοηθητικού πολυωνύμου (ούτε αυτό δικό μου): από εκεί και πέρα επαρκούν δύο απλές εφαρμογές της τριγωνικής ανισότητας σε αριθμητή και παρονομαστή στην (ΙΙ), και μία πιο προφανής εφαρμογή της στην (I), ούτε αυτές δική μου ιδέα. (Ο δικός μου ρόλος: απλοποίησα την αρχική απόδειξη, που χρησιμοποιεί το βασικό στην Μιγαδική Ανάλυση Θεώρημα του Rouche', κάνοντας την 100% σχολική. Επίσης έδωσα την γενίκευση, χωρίς πολύ πρόσθετο κόπο!)
Απόδειξη (δια της εις άτοπον απαγωγής): αν ο είναι ρίζα του με , τότε ο ικανοποιεί την και βεβαίως την , οπότε, θέτοντας και προκύπτουν οι
(Ι)
(II)
Από τις (Ι) και (ΙΙ) λαμβάνουμε, χάρις και στην ,
άτοπο. Ισχύει επομένως η .
Κύρια ιδέα στα παραπάνω, και όχι δική μου, η αντιστροφή της μεταβλητής ... και βέβαια η χρήση του βοηθητικού πολυωνύμου (ούτε αυτό δικό μου): από εκεί και πέρα επαρκούν δύο απλές εφαρμογές της τριγωνικής ανισότητας σε αριθμητή και παρονομαστή στην (ΙΙ), και μία πιο προφανής εφαρμογή της στην (I), ούτε αυτές δική μου ιδέα. (Ο δικός μου ρόλος: απλοποίησα την αρχική απόδειξη, που χρησιμοποιεί το βασικό στην Μιγαδική Ανάλυση Θεώρημα του Rouche', κάνοντας την 100% σχολική. Επίσης έδωσα την γενίκευση, χωρίς πολύ πρόσθετο κόπο!)
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμου
Ύστερα από συζητήσεις με τον Αλέξανδρο Συγκελάκη και με τον Γιάννη Θωμαΐδη ... νομίζω ότι απαιτείται η παρακάτω διευκρίνηση:
Η παραπάνω απόδειξη ... ΔΕΝ είναι δια της εις άτοπον απαγωγής! Πράγματι, δεν είναι απαραίτητο να υποθέσουμε την άρνηση του αποδεικτέου, να υποθέσουμε δηλαδή , για να καταλήξουμε σε κάτι το άτοπο ή έστω αντίθετο προς την υπόθεση μας, πχ . Μπορούμε απλώς -- και μια προσεκτική ματιά στην παραπάνω απόδειξη δείχνει ότι αυτό ακριβώς έγινε! -- να υποθέσουμε για να δείξουμε ότι ... αδιαφορώντας για την περίπτωση , που συνεπάγεται τετριμμένα την .
Η παραπάνω απόδειξη ... ΔΕΝ είναι δια της εις άτοπον απαγωγής! Πράγματι, δεν είναι απαραίτητο να υποθέσουμε την άρνηση του αποδεικτέου, να υποθέσουμε δηλαδή , για να καταλήξουμε σε κάτι το άτοπο ή έστω αντίθετο προς την υπόθεση μας, πχ . Μπορούμε απλώς -- και μια προσεκτική ματιά στην παραπάνω απόδειξη δείχνει ότι αυτό ακριβώς έγινε! -- να υποθέσουμε για να δείξουμε ότι ... αδιαφορώντας για την περίπτωση , που συνεπάγεται τετριμμένα την .
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμο
Πράγματι ανακοινώθηκε (βλέπετε προηγούμενες δημοσιεύσεις), και αναφέρθηκε και στο σημερινό σεμινάριο του Γιάννη Θωμαΐδη "Η μαθηματική απόδειξη ως πρόβλημα διδασκαλίας και μάθησης στο Λύκειο και τις Πανελλαδικές Εξετάσεις" (9η Μαθηματική Εβδομάδα), όπου επίσης συζητήθηκαν η απόδειξη του Αλέξανδρου για την καθώς και η δική μου απόδειξη για την . Αναφέρω εδώ, για συναισθηματικούς θα έλεγα λόγους, τα αντίστοιχα καίρια βήματα:gbaloglou έγραψε:Η απόδειξη του Αλέξανδρου παρουσιάστηκε από τον ίδιο στην 7η Μαθηματική Εβδομάδα (18-22 Μαρτίου 2015) και δημοσιεύτηκε στα Πρακτικά, σελ. 671-674. Υπάρχει πάντως τώρα απλούστερη απόδειξη, όχι δική μου, ούτε του Αλέξανδρου -- αν και παίξαμε και οι δύο κάποιο ρόλο στην γέννηση της -- που σας ενθαρρύνω να αναζητήσετε! (Αν δεν την βρει κανείς θα την ανακοινώσω εδώ στο τέλος του καλοκαιριού.)
[Η δεύτερη συνεπαγωγή είναι τετριμμένη (αλλά απαιτεί λογισμικό), η πρώτη καθόλου τετριμμένη (αλλά δεν απαιτεί λογισμικό) ]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμου
Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των ριζών v; Για τυχαίες τριάδες α σκανάρεται ολόκληρος ο κυκλικός δίσκος |v| 3;
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Άνω φράγμα μέτρων ριζών τριτοβαθμίου μιγαδικού πολυωνύμου
Σαφώς όχι, εικάζεται μάλιστα ότι Αλλά αυτό είναι πλέον θέμα για ξεχωριστή συζήτηση, για όσους ενδιαφέρονται θα βοηθούσε ίσως και μια ματιά στο άρθρο μου (B3.pdf) που έχει επισυναφθεί οκτώ αναρτήσεις πιο πάνω ... και στην εκεί χρήση λογισμικού, κλπ κλπkalsifer έγραψε:Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των ριζών v; Για τυχαίες τριάδες α σκανάρεται ολόκληρος ο κυκλικός δίσκος |v| 3;
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες