Goal

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1198
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Goal

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από exdx » Τετ Οκτ 23, 2013 10:30 am

Από ποιο σημείο \displaystyle{\,\,A\,\,\,} του τμήματος \displaystyle{\,\,BC\,\,\,\,} πρέπει να χτυπήσει τη μπάλα ο ποδοσφαιριστής για να έχει τη μεγαλύτερη πιθανότητα επιτυχίας ;
(Τα \displaystyle{\,\,a\,\,,\,b\,\,\,} είναι δεδομένα)
Συνημμένα
GOAL.png
GOAL.png (35.94 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9358
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Goal

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Mihalis_Lambrou » Τετ Οκτ 23, 2013 11:20 am

Το πρόβλημα αυτό ονομάζεται "πρόβλημα Regiomontanus". Δεν το διατύπωσε βέβαια για γήπεδο ποδοσφαίρου, αλλά σε άλλη ισοδύναμη μορφή (το λεγόμενο "πρόβλημα του αγάλματος").

Τρέχω για μάθημα και θα βάλω ιστορικά σχόλια αργότερα. Λύνεται ΠΟΛΥ ΕΥΚΟΛΑ χωρίς Ανάλυση, αλλά με σχολική Γεωμετρία.

Μ.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1461
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Goal

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Christos.N » Τετ Οκτ 23, 2013 4:29 pm

Για την διερεύνηση ένα διαδραστικό σχήμα.

Βέλτιστο σημείο.ggb
(36.23 KiB) Μεταφορτώθηκε 55 φορές


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9358
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Goal

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Mihalis_Lambrou » Τετ Οκτ 23, 2013 7:36 pm

Το πρόβλημα διατυπώθηκε από τον Johanes Müller (1434-1476), γνωστότερο ως Regiomontanus. Ζητούσε να βρεθεί το σημείο A που πρέπει να σταθείς ώστε να βλέπεις ένα άγαλμα BC πάνω σε βάση OB κατά την μέγιστη γωνία. Στο σχήμα τα έβαλα "το πάνω κάτω" για να διατηρήσω την εκφώνηση του Γιώργου.

Ο Regiomontanus ήξερε ελληνικά τα οποία τα έμαθε από τον σπουδαίο Έλληνα πλατωνικό φιλόσοφο Βασίλειο Βησσαρίωνα (1403 –1472).

Ο Βησσαρίων είχε σταλεί από τον Βυζαντινό αυτοκράτορα στην σύνοδο της Φερράρας ως εκπρόσωπος της Ορθοδοξίας για να εξομαλυνθούν οι σχέσεις με την Καθολική εκκλησία λόγω του Σχίσματος. Εκεί εντυπωσίασε τους Λατίνους και παράλληλα έπεσε σε δυσμένεια από τους Ορθόδοξους γιατί ήταν εναντίον της ένωσης των δύο εκκλησιών. Το αποτέλεσμα ήταν ότι έφυγε πικραμένος από την Κωνσταντινούπολη για να ζήσει στην Δύση, όπου ασπάστηκε τον Καθολικισμό και ανέβηκε ψηλά στην ιεραρχία του.

Κάποια στιγμή ο Βησσαρίων συνόδευσε τον φίλο και μαθητή του Regiomontanus στην Ρώμη όταν ο Πάπας κάλεσε τον τελευταίο για την μεταρρύθμιση του ημερολογίου. Το ταξίδι αυτό ήταν μοιραίο για τον Regiomontanus ο οποίος πέθανε σε ηλικία 42 ετών από δηλητηρίαση.

Κατά τον βιογράφο Gassendi του Regiomontanus ο δράστης της δηλητηρίασης ήταν τα παιδιά του Γεωργίου Τραπεζούντιου ως εκδίκηση για την βαριά κριτική που είχε ασκήσει ο Regiomantanus στην κακή μετάφραση του πατέρα τους της Μεγίστης Σύνταξης του Πτολεμαίου, από τα Ελληνικά στα Λατινικά.

Η λύση στο παραπάνω πρόβλημα είναι η ακόλουθη: Γράφουμε τον κύκλο που διέρχεται από τα BC και εφάπτεται της OA. Το σημείο επαφής A είναι το ζητούμενο, με \displaystyle{\angle  BAC} μέγιστη. Πράγματι, αν X τυχαίο σημείο (στο σχήμα είναι αριστερά του A αλλά ισχύει παρόμοιος συλλογισμός αν βρίσκεται από την άλλη πλευρά) έχουμε \displaystyle{ \angle BXC < \angle  BMC = \angle  BAC} , όπως θέλαμε.

Έτσι το ζητούμενο σημείο προσδιορίζεται από την \displaystyle{OA = \sqrt {OB\cdot OC} .

Φιλικά,

Μιχάλης
Συνημμένα
Regiomontanus.png
Regiomontanus.png (15.36 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1461
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Goal

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Christos.N » Τετ Οκτ 23, 2013 7:54 pm

Μετά την ανάλυση του κυρίου Λάμπρου ,που τον ευχαριστώ για την ιστορική αναφορά και λύση στο πρόβλημα, προσθέτω στο αρχικό διαδραστικό και τον δεύτερο κύκλο.
Συνημμένα
Βέλτιστο σημείο-1 με την ανάλυση του κύριου Λάμπρου.ggb
(36.65 KiB) Μεταφορτώθηκε 38 φορές


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Goal

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Οκτ 23, 2013 11:49 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Το πρόβλημα διατυπώθηκε από τον Johanes Müller (1434-1476), γνωστότερο ως Regiomontanus. Ζητούσε να βρεθεί το σημείο A που πρέπει να σταθείς ώστε να βλέπεις ένα άγαλμα BC πάνω σε βάση OB κατά την μέγιστη γωνία. Στο σχήμα τα έβαλα "το πάνω κάτω" για να διατηρήσω την εκφώνηση του Γιώργου.

Ο Regiomontanus ήξερε ελληνικά τα οποία τα έμαθε από τον σπουδαίο Έλληνα πλατωνικό φιλόσοφο Βασίλειο Βησσαρίωνα (1403 –1472).

Ο Βησσαρίων είχε σταλεί από τον Βυζαντινό αυτοκράτορα στην σύνοδο της Φερράρας ως εκπρόσωπος της Ορθοδοξίας για να εξομαλυνθούν οι σχέσεις με την Καθολική εκκλησία λόγω του Σχίσματος. Εκεί εντυπωσίασε τους Λατίνους και παράλληλα έπεσε σε δυσμένεια από τους Ορθόδοξους γιατί ήταν εναντίον της ένωσης των δύο εκκλησιών. Το αποτέλεσμα ήταν ότι έφυγε πικραμένος από την Κωνσταντινούπολη για να ζήσει στην Δύση, όπου ασπάστηκε τον Καθολικισμό και ανέβηκε ψηλά στην ιεραρχία του.

Κάποια στιγμή ο Βησσαρίων συνόδευσε τον φίλο και μαθητή του Regiomontanus στην Ρώμη όταν ο Πάπας κάλεσε τον τελευταίο για την μεταρρύθμιση του ημερολογίου. Το ταξίδι αυτό ήταν μοιραίο για τον Regiomontanus ο οποίος πέθανε σε ηλικία 42 ετών από δηλητηρίαση.

Κατά τον βιογράφο Gassendi του Regiomontanus ο δράστης της δηλητηρίασης ήταν τα παιδιά του Γεωργίου Τραπεζούντιου ως εκδίκηση για την βαριά κριτική που είχε ασκήσει ο Regiomantanus στην κακή μετάφραση του πατέρα τους της Μεγίστης Σύνταξης του Πτολεμαίου, από τα Ελληνικά στα Λατινικά.

.............................
Φιλικά,

Μιχάλης


Αγαπητοί φίλοι και συνάδελφοι, όπως σας είπα και σε παλιότερο μήνυμα, στα πρώτα χρόνια της μαθηματικής μας σταδιοδρομίας πέφτουμε...με τα μούτρα στις ασκήσεις, μετά στη δουλειά και στο τέλος, αν είμαστε τυχεροί , ανακαλύπτουμε ότι πίσω από όλα αυτά τα μαθηματικά υπάρχει η αληθινή ιστορία του πνεύματος και της επιστήμης. Τη διαπίστωση αυτή την έκανα για τον εαυτό μου όταν διάβασα κυρίως το βιβλίο του Eli Mayor : Τριγωνομετρκά Λουκούμια , εκδόσεις Κάτοπρο, που επιμελήθηκε με αριστοτεχνικό τρόπο ο Καθηγητής Μιχάλης Λάμπρου.

Μιχάλη, διαβάζω για δεύτερη φορά αυτό το βιβλίο και μάλιστα χθες το βράδυ ήμουνα ακριβώς στην ενότητα με τον Regiomontanus . Εϊναι συγκλονιστική η αναφορά που κάνεις και στο βιβλίο για το θάνατο του Müller, αλλά εδώ μας χαρίζεις περισσότερες πληροφορίες.

Στο σχολείο , θες η κακή δομή, θες οι δάσκαλοι που δεν πιστεύουν στην αξία όσων λένε, θες η ηλικία του εφήβου, ποτέ δεν μπορέσαμε να καταλάβουμε πως πίσω από κάθε σημαντικό πράγμα βρίσκονται εξέχουσες προσωπικότητες. Μάθαμε για την αλλαγή που ημερολογίου, αλλά ποτέ δεν αναρωτηθήκαμε :

'' Μα ξέρει ο Πάπας αστρονομία και τόσο πολλά μαθηματικά για να φτιάξει το Ημερολόγιο ; ''

Ποτέ και κανένας δεν ανέφερε το όνομα του Regiomontanus και την προσφορά του στη μαθηματική επιστήμη . Βέβαια, το ερώτημα αυτό παραπέμπει στο ποίημα του Bertolt Brecht : '' Ποιος έχτισε την Θήβα την επτάπυλη ...'' και αφορά κάθε τι σημαντικό που συνήθως το χρεώνεται ένας, ενώ πίσω βρίσκονται μεγάλες μορφές, άγνωστες συνήθως στους πολλούς.

Λοιπόν, τα τριγωνομετρικά λουκούμια θεωρώ πως είναι σπάνιο και απαραίτητο βιβλίο σε κάθε καθηγητή μέσης εκπαίδευσης . Για φέτος έχω δανιστεί από εκεί τον πίνακα του Πτολεμαίου για τις χορδές και θα κάνουμε με τη βοήθεια αυτού μια επίλυση τριγώνου στην τάξη με τη Β' Λυκείου . Θα κάνουμε στη συνέχεια τη λύση και με επιστημονικό κομπιουτεράκι, για να δούνε οι μαθητές τη θαυμαστή ακρίβεια των υπολογισμών του Πτολεμαίου .

Τίποτα δεν είναι πιο ουσιαστικό στο μάθημα από τις εφαρμογές των μαθηματικών και την ιστορική πορεία των εννοιών ! Εξαιρετικό είναι και το θέμα ακροτάτων που έβαλε ο Γιώργος, μου τα χαλάει όμως που στη Β' Λυκείου δεν έχουμε τον τύπο της εφαπτομένης της διαφοράς γωνιών για να λύσουμε με τα παιδιά το πρόβλημα αυτό με κλασική ανισότητα, όπως στα Λουκούμια.

Μιχάλη, και δημόσια, σε ευχαριστώ για αυτό το βιβλίο που μας χάρισες , όπως και όλους τους συντελεστές της έκδοσης φυσικά.

Μπ.



Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες