Συναρτησιακή εξίσωση (κβ)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xf(x)+y^2)=f(x^2)+y^2 , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}$ .

nikoszan · #2

... $\displaystyle{f(xf(x) + {y^2}) = f({x^2}) + {y^2}:\left( 1 \right)}$
Από την $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ για $\displaystyle{x = 1}$ έχουμε ότι για κάθε
$\displaystyle{y > 0}$ ισχύει $\displaystyle{f(1.f(1) + {y^2}) = f({1^2}) + {y^2} \Rightarrow f(f(1) + {y^2}) = f(1) + {y^2}}$ ,οπότε $\displaystyle{f\left( x \right) = x,\forall x > f\left( 1 \right):\left( a \right)}$
Από την $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ για $\displaystyle{y = \sqrt {f\left( 1 \right)} }$ έχουμε ότι για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ ισχύει $\displaystyle{f(xf(x) + {\left( {\sqrt {f\left( 1 \right)} } \right)^2}) = f({x^2}) + {\left( {\sqrt {f\left( 1 \right)} } \right)^2} \Rightarrow }$
$\displaystyle{ \Rightarrow f(xf(x) + f\left( 1 \right)) = f({x^2}) + f\left( 1 \right)}$ $\displaystyle{\mathop \Rightarrow \limits_{\left( a \right)}^{\left( {xf(x) + f\left( 1 \right) > f\left( 1 \right)} \right)} xf(x) + f\left( 1 \right) = f({x^2}) + f\left( 1 \right) \Rightarrow xf(x) = f({x^2}):\left( b \right)}$
Επαγωγικά ,με την βοήθεια της $\displaystyle{\left( b \right)}$ ,αποδ.ότι ισχύει $\displaystyle{f\left( {{x^{{2^n}}}} \right) = {x^{{2^n} - 1}}f\left( x \right),\forall n \in {N^ * },\forall x > 0}$ ,οπότε
για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ και για κάθε $\displaystyle{n \in {N^ * }}$ ισχύει $\displaystyle{f\left( {{{\left( {\sqrt[{{2^n}}]{x}} \right)}^{{2^n}}}} \right) = {\left( {\sqrt[{{2^n}}]{x}} \right)^{{2^n} - 1}}f\left( {\left( {\sqrt[{{2^n}}]{x}} \right)} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = {x^{1 - \frac{1}{{{2^n}}}}}f\left( {\left( {\sqrt[{{2^n}}]{x}} \right)} \right):\left( c \right)}$ .Από την $\displaystyle{\left( c \right)}$ έχουμε
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{x^{1 - \frac{1}{{{2^n}}}}}f\left( {\left( {\sqrt[{{2^n}}]{x}} \right)} \right)} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{f\left( {\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma } \right)} f\left( x \right) = xf\left( 1 \right)}$ και επειδή είναι
$\displaystyle{f\left( x \right) = x,\forall x > f\left( 1 \right)}$ ,έπεται ότι $\displaystyle{f\left( 1 \right) = 1}$ και τελικά είναι $\displaystyle{f\left( x \right) = x,\forall x > 0}$ (ικανοποιεί την υπόθεση).
Ν.Ζ.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=559829

Συναρτησιακή εξίσωση (κβ)

Συναρτησιακή εξίσωση (κβ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κβ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κβ)

Μέλη σε σύνδεση