Mέτρο στον R.

Antonis Loutraris · #1

Σκοτώνοντας το χρόνο μου στον Ελληνικό στρατό έπεσα σε δύο όμορφες ασκήσεις
θεωρίας μέτρου τις οποίες παραθέτω για τους λάτρεις του ''αθλήματος''.

(1) Έστω $\displaystyle{E\subset\mathbb{R}}$ μετρήσιμο με $\displaystyle{m(E)<+\infty.}$
(i) Δείξτε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{f(x)=m(E\cap[-x,x])}$ είναι συνεχής.
(ii) Aν $\displaystyle{m(E)=1}$ δείξτε ότι υπάρχει $\displaystyle{K\subset E}$ μετρήσιμο τέτοιο ώστε $\displaystyle{m(K) = 0,99.}$

(2) Έστω $\displaystyle{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}$ ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Δείξτε ότι:

$\displaystyle{\displaystyle{\lim_{t\to+\infty}\int_{\mathbb{R}}\vert f(x+t)-f(x)\vert dx=2\int_{\mathbb{R}}\vert f(x)\vert dx.}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Μια και έμεινε την κάνω.

Τα 1,2 είναι εύκολα ενώ το 3 πολύ τεχνικό.

1)Για $y> x\geq 0$

είναι $[-y,y]\cap E=([-x,x]\cap E)\cup ([x,y]\cap E)\cup ([-y,-x]\cap E)$

Επειδή $m(E\cap [x,y]),m(E\cap [-y,-x])\leq y-x$

προκύπτει ότι $0\leq f(y)-f(x)\leq 2(y-x)$

Αρα $\left | f(y)-f(x) \right |\leq 2\left | y-x \right |$

που δείχνει ότι η συνάρτηση είναι ομοιόμορφα συνεχής όποτε και συνεχής.

2)Ειναι άμεση συνέπεια του Θ.Ε.Τ για συνεχείς συναρτήσεις και του γεγονότος ότι

$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=m(\mathbb{R}\cap E)=m(E)$

3)Είναι προφανές ότι $\int _{\mathbb{R}}\left | f(x+t)-f(x) \right |dx\leq 2\int _{\mathbb{R}}\left | f(x) \right |dx$ (0)

Εστω $\epsilon > 0$

Υπάρχει $n\in \mathbb{N}$ ώστε $\int _{\left | x \right |\geq n}\left | f(x) \right |dx< \epsilon$

Παίρνουμε t> 2n

Εχουμε

$\int _{\left | x \right |\leq n}\left | f(x+t)-f(x) \right |dx\geq \int _{\left | x \right |\leq n}\left |f(x) \right |dx-\int _{\left | x \right |\leq n}\left | f(x+t) \right |dx\geq \int _{\mathbb{R}}\left | f(x) \right |dx-2\epsilon$ (1)

Επίσης είναι

$\int _{\left | x \right |\geq n}\left | f(x+t)-f(x) \right |dx\geq \int _{\left | x \right |\geq n}\left | f(x+t) \right |dx-\int _{\left | x \right |\geq n}\left | f(x) \right |dx$

Αλλά

$\int _{\left | x \right |\geq n}\left | f(x+t) \right |dx\geq \int _{\left | x+t \right |\leq n}\left | f(x+t) \right |dx\geq \int _{\mathbb{R}}\left | f(x) \right |dx-\epsilon$

Τελικά από τις δύο προηγούμενες είναι

$\int _{\left | x \right |\geq n}\left | f(x+t)-f(x) \right |dx\geq \int _{\mathbb{R}}\left | f(x) \right |dx-2\epsilon$ (2)

Από (1)(2) για t> 2n

συμπεραίνουμε ότι

$\int _{\mathbb{R}}\left | f(x+t)-f(x) \right |dx\geq2 \int _{\mathbb{R}}\left | f(x) \right |dx-4\epsilon$

που μαζί με την (0) μας δίνει το ζητούμενο.

Mέτρο στον R.

Mέτρο στον R.

Re: Mέτρο στον R.

Re: Mέτρο στον R.

Μέλη σε σύνδεση