Ανισότητα και ολοκλήρωμα

#1

Έστω

συνάρτηση με θετικές τιμές και συνεχής στο $\mathbb{R}$ . Αν επιπλέον ισχύει $f(x+1)=f(x), \forall x\in \mathbb{R}$
να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{f(x)}}{{f(x + \frac{1}{2})}}dx \ge 1} }$

#2

chris_gatos έγραψε:Έστω συνάρτηση με θετικές τιμές και συνεχής στο $\mathbb{R}$ . Αν επιπλέον ισχύει $f(x+1)=f(x), \forall x\in \mathbb{R}$
να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{f(x)}}{{f(x + \frac{1}{2})}}dx \ge 1} }$

Είναι

$\displaystyle{\rm J:=\int\limits_0^1 {\frac{{f(x)}}{{f(x + \frac{1}{2})}}dx=\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{f(x)}}{{f(x + \frac{1}{2})}}dx+\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{f(x)}}{{f(x + \frac{1}{2})}}dx=\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{f(x)}}{{f(x + \frac{1}{2})}}dx+\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{f(x)}}{{f(x - \frac{1}{2})}}dx}$ , αφού η συνάρτηση έχει περίοδο $\displaystyle{T=1.}$

Στο δεύτερο ολοκλήρωμα κάνοντας την αλλαγή $\displaystyle{x-\frac{1}{2}=u}$ βρίσκουμε

$\displaystyle{\rm J=\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{f(x)}}{{f(x + \frac{1}{2})}}dx+\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{f\Big(x+\frac{1}{2}\Big)}{f(x)}}dx}$

άρα

$\displaystyle{\rm J=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\Big(\frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{2})}+\frac{f(x+\frac{1}{2})}{f(x)}\Big)\geq \int_{0}^{\frac{1}{2}}2dx=1.}$

Ανισότητα και ολοκλήρωμα

Ανισότητα και ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα και ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση